Calcule, se existir, o valor do limite: lim x -2^+ |x^2-4|4-x^2

Passo 1

O exercício pede para calcular o limite . Vamos trabalhar com o conteúdo de cálculo de limites, especialmente envolvendo valores absolutos e o comportamento das funções próximas a pontos específicos. Para resolver, precisamos entender como simplificar expressões com valor absoluto e analisar o comportamento da função à medida que se aproxima de -2 pela direita.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro do limite. Observe o denominador |x^2-4|4 - x^2 = |x^2-4|- (x^2 - 4) = - |x^2-4|x^2 - 4 , que pode ser reescrito como . Assim, temos:
Isso nos ajuda a entender melhor a expressão.

Passo 3

Agora, consideremos o comportamento de x^2 = (-2 + h)^2 = 4 - 4h + h^2 próximo a -2 pela direita, isto é, x^2 - 4 = -4h + h^2 . Podemos substituir por , onde é um número pequeno positivo que tende a zero. Assim:
Portanto:
Como , o termo domina, tornando negativo.

Passo 4

Como |x^2-4| = -(x^2 - 4) = 4h - h^2 é negativo perto de |x^2-4|4 - x^2 = 4h - h^24h - h^2 = 1 , o valor absoluto será:
Substituindo na expressão original:
Pois os termos e se cancelam.

Passo 5

Como simplificamos a expressão para 1, independente de quão pequeno seja , o limite é constante.

Resposta

1

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