Calcule, se existir, o valor do limite:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A questão pede para calcular o limite quando se aproxima de 2 da expressão . Vamos precisar usar conhecimentos de limites, especialmente quando encontramos uma indeterminação do tipo . Vamos ver como resolver isso passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar o que acontece quando substituímos na expressão:
Essa forma é uma indeterminação, o que significa que precisamos manipular a expressão para encontrar o limite.

Passo 3

Para resolver indeterminações envolvendo raízes, podemos multiplicar o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador. O conjugado de é . Vamos fazer isso:
Isso nos ajuda a eliminar a raiz no denominador.

Passo 4

Agora, vamos multiplicar os numeradores e denominadores:
No denominador, temos uma diferença de quadrados, que simplifica para:

Passo 5

Então, a expressão fica:
Perceba que pode ser fatorado como :
E no numerador, podemos fatorar como :

Passo 6

Substituindo essas fatorações na expressão:
Agora, podemos cancelar no numerador e no denominador:

Passo 7

Agora, podemos calcular o limite substituindo :

Resposta

O limite é igual a .

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