Calcule, se existir, o valor do limite: lim x 2(2 x-4raizx^2+12-4)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A questão pede para calcular o limite quando se aproxima de 2 da expressão . Vamos precisar usar conhecimentos de limites, especialmente quando encontramos uma indeterminação do tipo . Vamos ver como resolver isso passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar o que acontece quando substituímos 2(2) - 4raiz2^2 + 12 - 4 = 4 - 4raiz4 + 12 - 4 = 0raiz16 - 4 = 04 - 4 = 00 na expressão:
Essa forma é uma indeterminação, o que significa que precisamos manipular a expressão para encontrar o limite.

Passo 3

Para resolver indeterminações envolvendo raízes, podemos multiplicar o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador. O conjugado de 2x - 4raizx^2 + 12 - 4 times raizx^2 + 12 + 4raizx^2 + 12 + 4 é . Vamos fazer isso:
Isso nos ajuda a eliminar a raiz no denominador.

Passo 4

Agora, vamos multiplicar os numeradores e denominadores:
(2x - 4)(raizx^2 + 12 + 4)(raizx^2 + 12 - 4)(raizx^2 + 12 + 4)
No denominador, temos uma diferença de quadrados, que simplifica para:
(raizx^2 + 12)^2 - 4^2 = x^2 + 12 - 16 = x^2 - 4

Passo 5

Então, a expressão fica:
(2x - 4)(raizx^2 + 12 + 4)x^2 - 4
Perceba que x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2) pode ser fatorado como 2x - 4 = 2(x - 2) :
E no numerador, podemos fatorar como :

Passo 6

Substituindo essas fatorações na expressão:
2(x - 2)(raizx^2 + 12 + 4)(x - 2)(x + 2)
Agora, podemos cancelar 2(raizx^2 + 12 + 4)x + 2 no numerador e no denominador:

Passo 7

Agora, podemos calcular o limite substituindo 2(raiz2^2 + 12 + 4)2 + 2 = 2(raiz4 + 12 + 4)4 = 2(raiz16 + 4)4 = 2(4 + 4)4 = 2 times 84 = 164 = 4 :

Resposta

O limite é igual a .

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