Calcule, se existir, o valor do limite:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de cálculo de limites. O enunciado pede para calcular
. Para resolver isso, vamos precisar usar alguns conceitos de álgebra e limites, como simplificação de frações e análise de expressões que resultam em indeterminações.
Passo 2
Primeiro, vamos tentar substituir o valor
diretamente nas duas frações para ver o que acontece.
Para a primeira fração:
Legal, essa parte deu
.
Passo 3
Agora, vamos para a segunda fração:
Se tentarmos substituir
direto aqui, vamos ter:
Isso é uma indeterminação
, o que significa que precisamos simplificar a expressão para encontrar o limite.
Passo 4
Vamos simplificar a segunda fração. Observamos que o numerador
pode ser fatorado:
Então, a fração fica:
Passo 5
Agora, podemos cancelar o termo
que está tanto no numerador quanto no denominador:
Com isso, a expressão se simplifica para
.
Passo 6
Agora, vamos calcular o limite dessa expressão simplificada quando
se aproxima de 2:
Resposta
O valor do limite é
.
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Usando a definição, verifique se as funções a seguir são deriváveis em
e em caso afirmativo, determine
: