Calcule, se existir, o valor do limite: lim x 2(x^2+4x^3+4+x^2-4x-2)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de cálculo de limites. O enunciado pede para calcular . Para resolver isso, vamos precisar usar alguns conceitos de álgebra e limites, como simplificação de frações e análise de expressões que resultam em indeterminações.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar substituir o valor x^2+4x^3+4 = 2^2 + 42^3 + 4 = 4 + 48 + 4 = 812 = 23 diretamente nas duas frações para ver o que acontece.
Para a primeira fração:
Legal, essa parte deu .

Passo 3

Agora, vamos para a segunda fração:
x^2-4x-2
Se tentarmos substituir 2^2 - 42 - 2 = 4 - 40 = 00 direto aqui, vamos ter:
Isso é uma indeterminação , o que significa que precisamos simplificar a expressão para encontrar o limite.

Passo 4

Vamos simplificar a segunda fração. Observamos que o numerador x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2) pode ser fatorado:
(x - 2)(x + 2)x - 2
Então, a fração fica:

Passo 5

Agora, podemos cancelar o termo (x - 2)(x + 2)x - 2 = x + 2 (desde que x neq 2) que está tanto no numerador quanto no denominador:
Com isso, a expressão se simplifica para .

Passo 6

Agora, vamos calcular o limite dessa expressão simplificada quando limx 2 (x + 2) = 2 + 2 = 4 se aproxima de 2:

Resposta

O valor do limite é .

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