Usando a definição, verifique se as funções a seguir são deriváveis em
e em caso afirmativo, determine
:
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício. A gente precisa verificar se a função
é derivável em
usando a definição de derivada. Isso pertence à matéria de cálculo diferencial, mais especificamente sobre derivadas. Para resolver isso, vamos precisar entender a definição de derivada e como aplicá-la em pontos específicos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a derivada de uma função em um ponto. A derivada de
em
é o limite:
Nesse caso, como
, a fórmula fica:
Passo 3
Vamos calcular
. Basta substituir
na função:
Agora, a expressão da derivada fica:
Passo 4
Simplificamos a expressão:
Sabemos que
se
e
se
. Então:
- Se
:
- Se
:
Agora, vamos calcular o limite para
se aproximando de 0 pela direita e pela esquerda.
Passo 5
Calculando o limite pela direita (
):
Calculando o limite pela esquerda (
):
Como os limites laterais são iguais, o limite existe e é igual a 0.
Resposta
Sim, a função
é derivável em
e a derivada nesse ponto é
.