Usando a definição, verifique se as funções a seguir são deriváveis em x_0 e em caso afirmativo, determine f'(x0): f(x) = x^2 * |x| (x0 = 0)

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício. A gente precisa verificar se a função é derivável em usando a definição de derivada. Isso pertence à matéria de cálculo diferencial, mais especificamente sobre derivadas. Para resolver isso, vamos precisar entender a definição de derivada e como aplicá-la em pontos específicos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a derivada de uma função em um ponto. A derivada de em é o limite:
Nesse caso, como , a fórmula fica:

Passo 3

Vamos calcular . Basta substituir na função:
Agora, a expressão da derivada fica:

Passo 4

Simplificamos a expressão:
Sabemos que se e se . Então:
  • Se :
  • Se :
Agora, vamos calcular o limite para se aproximando de 0 pela direita e pela esquerda.

Passo 5

Calculando o limite pela direita ( ):
Calculando o limite pela esquerda ( ):
Como os limites laterais são iguais, o limite existe e é igual a 0.

Resposta

Sim, a função é derivável em e a derivada nesse ponto é .

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