Encontre o valor do limite (se existir): lim x 1(x^20-1x^10-1)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A questão pede para encontrar o valor de lim x 1(x^20-1x^10-1). Isso está dentro do conteúdo de Cálculo de Limites, especificamente lidando com expressões que podem gerar formas indeterminadas. Para resolver, vamos precisar entender como fatorar expressões polinomiais e simplificar frações.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o que acontece quando substituímos x = 1 diretamente na expressão. Temos:
1^20 - 11^10 - 1 = 1 - 11 - 1 = 00
Isso é uma forma indeterminada, ou seja, não conseguimos determinar o limite apenas substituindo o valor. Precisamos simplificar a expressão para eliminar essa indeterminação.

Passo 3

Vamos fatorar os polinômios do numerador e do denominador. Lembra que x^n - 1 pode ser fatorado como (x - 1)(x^n-1 + x^n-2 + dots + x + 1). Aplicando isso:
x^20 - 1 = (x - 1)(x^19 + x^18 + dots + x + 1)
x^10 - 1 = (x - 1)(x^9 + x^8 + dots + x + 1)

Passo 4

Agora, vamos substituir essas fatorações na nossa expressão original:
x^20 - 1x^10 - 1 = (x - 1)(x^19 + x^18 + dots + x + 1)(x - 1)(x^9 + x^8 + dots + x + 1)
Observamos que o termo (x - 1) está presente tanto no numerador quanto no denominador, então podemos cancelá-los, desde que x neq 1 (o que é válido para o limite).

Passo 5

Após o cancelamento, ficamos com:
x^19 + x^18 + dots + x + 1x^9 + x^8 + dots + x + 1
Agora, substituímos x = 1 nessa nova expressão:
1^19 + 1^18 + dots + 1 + 11^9 + 1^8 + dots + 1 + 1 = 2010 = 2

Resposta

O limite é igual a 2.

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