Calcule, se existir, o valor do limite:
Passo 1
Vamos calcular o limite
. Aqui, estamos trabalhando com limites em Cálculo, especificamente analisando o comportamento de funções exponenciais e polinomiais quando
tende ao infinito. Para resolver isso, vamos precisar entender como comparar o crescimento de funções exponenciais com funções polinomiais.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o que acontece com o numerador e o denominador separadamente quando
tende ao infinito.
- Numerador:
- Esta é uma função exponencial que cresce muito rapidamente conforme aumenta. - Denominador:
- Esta é uma função polinomial de segundo grau, que também cresce à medida que aumenta, mas de uma forma mais lenta comparada à função exponencial.
Passo 3
Para entender qual parte da fração cresce mais rápido, podemos comparar as taxas de crescimento das duas funções:
- Funções exponenciais, como
, crescem mais rapidamente do que qualquer função polinomial, como , quando tende ao infinito.
Isso significa que, à medida que
aumenta, o numerador
vai crescer muito mais rápido que o denominador
.
Passo 4
Com base nisso, podemos concluir que o valor da fração
vai aumentar sem limite conforme
se aproxima do infinito.
Resposta
O limite é infinito, ou seja: