Calcule, se existir, o valor do limite: lim x infty(e^x(3 x+1)^2)

Passo 1

Vamos calcular o limite . Aqui, estamos trabalhando com limites em Cálculo, especificamente analisando o comportamento de funções exponenciais e polinomiais quando tende ao infinito. Para resolver isso, vamos precisar entender como comparar o crescimento de funções exponenciais com funções polinomiais.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o que acontece com o numerador e o denominador separadamente quando tende ao infinito.
  • Numerador: - Esta é uma função exponencial que cresce muito rapidamente conforme aumenta.
  • Denominador: - Esta é uma função polinomial de segundo grau, que também cresce à medida que aumenta, mas de uma forma mais lenta comparada à função exponencial.

Passo 3

Para entender qual parte da fração cresce mais rápido, podemos comparar as taxas de crescimento das duas funções:
  • Funções exponenciais, como , crescem mais rapidamente do que qualquer função polinomial, como , quando tende ao infinito.
Isso significa que, à medida que aumenta, o numerador vai crescer muito mais rápido que o denominador .

Passo 4

Com base nisso, podemos concluir que o valor da fração vai aumentar sem limite conforme se aproxima do infinito.

Resposta

O limite é infinito, ou seja:
limx infty(e^x(3x+1)^2) = infty

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