Calcule, se existir, o valor dos seguintes limites:
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
(g) .

Passo 1

Oi! Vamos resolver juntos esses limites que você me mandou. Isso envolve cálculo de limites em funções trigonométricas e outras funções básicas. Para resolver, vamos precisar entender como aplicar as propriedades dos limites e algumas regras específicas para funções trigonométricas.

Passo 2

Parte (a): Vamos calcular o limite .
Sabemos que . Aqui, temos , então podemos usar essa propriedade ajustando para o fator 3.

Passo 3

Aplicando a propriedade:

Passo 4

Parte (b): Vamos calcular .
Aqui, oscila entre -1 e 1. Multiplicando por , que vai para 0, o produto também vai para 0.

Passo 5

Como e ambos os limites laterais são 0, pelo teorema do sanduíche:

Passo 6

Parte ©: Vamos encontrar .
Sabemos que , então substituindo:
Portanto, o limite se torna:

Passo 7

Parte (d): Vamos calcular .
Usamos a identidade . Aqui, , quando , .

Passo 8

Substituindo:
Mas na verdade, a identidade correta é , então:

Passo 9

Parte (e): Vamos calcular .
Perto de , tende a 0. Sabemos que , onde .

Passo 10

Substituindo:

Passo 11

Parte (f): Vamos calcular .
Perto de , , então tende a 0. Observamos o comportamento do limite:
Quando se aproxima de por baixo, , e por cima, . Portanto, o limite tende a e , respectivamente, ou não existe.

Passo 12

Parte (g): Vamos calcular .
Sabemos que , então:

Resposta

(a) 3
(b) 0
© 1
(d)
(e) -1
(f) O limite não existe
(g) 1

Exercícios relacionados

Dê o domínio das seguintes funções:
(a)
(b)
©
(d) .
Utilize a redução de arcos ao quadrante para calcular o valor de na expressão
Resolva as seguintes equações:
(a)
(b)
©
(d) .
Mostre que o período das funções e é dado por , sendo e . Em seguida, esboce o gráfico da função sen .