Calcule, se existir, o valor dos seguintes limites:
(a) lim x 0 sen(3 x)x
(b) lim x 0 x sen(1x)
© lim x 0 tg xsen x
(d) lim x 0 1-cos (x^2)x^2
(e) lim x pi2 cos x(x-pi2)^-1
(f) lim x pi2 (1-sen x)^-1
(g) lim x 0 xsen x.

Passo 1

Oi! Vamos resolver juntos esses limites que você me mandou. Isso envolve cálculo de limites em funções trigonométricas e outras funções básicas. Para resolver, vamos precisar entender como aplicar as propriedades dos limites e algumas regras específicas para funções trigonométricas.

Passo 2

Parte (a): Vamos calcular o limite .
Sabemos que . Aqui, temos , então podemos usar essa propriedade ajustando para o fator 3.

Passo 3

Aplicando a propriedade:

Passo 4

Parte (b): Vamos calcular .
Aqui, oscila entre -1 e 1. Multiplicando por , que vai para 0, o produto também vai para 0.

Passo 5

Como e ambos os limites laterais são 0, pelo teorema do sanduíche:

Passo 6

Parte ©: Vamos encontrar .
Sabemos que , então substituindo:
Portanto, o limite se torna:
tg xsen x = sen xcos x cdot sen x = 1cos x

Passo 7

Parte (d): Vamos calcular .
Usamos a identidade . Aqui, , quando , .

Passo 8

Substituindo:
lim x 0 1 - cos(x^2)x^2 = lim y 0 1 - cos yy cdot y = 12 cdot 0 = 0
Mas na verdade, a identidade correta é lim x 0 1 - cos(x^2)x^2 = lim y 0 1 - cos yy^2 cdot y^2 = 12 , então:

Passo 9

Parte (e): Vamos calcular .
Perto de , tende a 0. Sabemos que , onde .

Passo 10

Substituindo:

Passo 11

Parte (f): Vamos calcular .
Perto de , , então tende a 0. Observamos o comportamento do limite:
Quando se aproxima de por baixo, , e por cima, . Portanto, o limite tende a e , respectivamente, ou não existe.

Passo 12

Parte (g): Vamos calcular .
Sabemos que , então:

Resposta

(a) 3
(b) 0
© 1
(d)
(e) -1
(f) O limite não existe
(g) 1

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