Calcule, se existir, o valor dos seguintes limites: lim x 0 sen(x^2).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite: lim x 0 sen(x^2). Esse exercício está na matéria de Cálculo, mais especificamente em limites. Para resolver, vamos usar o conhecimento sobre o comportamento da função seno próximo de zero e a propriedade dos limites de funções compostas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que quando o ângulo de seno é muito pequeno, o seno dessa variável é aproximadamente igual ao próprio ângulo. Ou seja, para valores de próximos de 0, temos que .

Passo 3

No nosso caso, o argumento do seno é sen(x^2) approx x^2 . Então, quando se aproxima de 0, também se aproxima de 0. Aplicando a aproximação que mencionamos:

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite de limx 0 x^2 = 0 quando tende a 0:
Isso porque qualquer número pequeno ao quadrado ainda será muito pequeno, chegando cada vez mais próximo de zero.

Passo 5

Como a aproximação lim x 0 sen(x^2) = 0 é válida para próximo de 0, podemos concluir que:

Resposta

O limite é igual a 0.

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