Esboce no plano x y as curvas determinadas pelas parametrizações r(t) = x(t) i + y(t) j descrevendo, em cada caso, a orientação:
(b) x(t) = 2t - 3 e y(t) = 6t - 7 para 0 <= t <= 4;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para esboçarmos no plano xy a curva definida pelas parametrizações e , considerando o intervalo 0 <= t <= 4. Vamos usar conceitos de geometria analítica e parametrização para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender essas parametrizações. Temos duas equações que relacionam as coordenadas x e y com o parâmetro t. Para esboçar a curva, uma boa ideia é eliminar o parâmetro t e obter a equação da reta no formato .

Passo 3

Vamos resolver para t:
Agora, substituímos esse valor de t na equação de y(t):
Então, a equação da reta é .

Passo 4

Agora, vamos encontrar os pontos que correspondem aos valores extremos de t, ou seja, t = 0 e t = 4, para determinar os pontos inicial e final da curva dentro do intervalo dado.
Para t = 0:
Então, o ponto inicial é .
Para t = 4:
Então, o ponto final é .

Passo 5

Agora, com a equação da reta e os pontos e , podemos esboçar a reta no plano xy. A reta é inclinada, com inclinação m = 3, e intercepta o eixo y no ponto .

Passo 6

Por fim, vamos indicar a orientação da curva. Como t varia de 0 a , e à medida que t aumenta, o ponto se move de para ao longo da reta. Então, a orientação é do ponto para o ponto .

Resposta

A curva é uma reta definida por , traçada do ponto ao ponto com a orientação indo de t = 0 para t = 4.

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