Esboce no plano
as curvas determinadas pelas parametrizações
descrevendo, em cada caso, a orientação:
(b)
e
para
;
(b)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para esboçarmos no plano
a curva definida pelas parametrizações
e
, considerando o intervalo
. Vamos usar conceitos de geometria analítica e parametrização para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender essas parametrizações. Temos duas equações que relacionam as coordenadas
e
com o parâmetro
. Para esboçar a curva, uma boa ideia é eliminar o parâmetro
e obter a equação da reta no formato
.
Passo 3
Vamos resolver
para
:
Agora, substituímos esse valor de
na equação de
:
Então, a equação da reta é
.
Passo 4
Agora, vamos encontrar os pontos que correspondem aos valores extremos de
, ou seja,
e
, para determinar os pontos inicial e final da curva dentro do intervalo dado.
Para
:
Então, o ponto inicial é
.
Para
:
Então, o ponto final é
.
Passo 5
Agora, com a equação da reta
e os pontos
e
, podemos esboçar a reta no plano
. A reta é inclinada, com inclinação
, e intercepta o eixo
no ponto
.
Passo 6
Por fim, vamos indicar a orientação da curva. Como
varia de
a
, e à medida que
aumenta, o ponto se move de
para
ao longo da reta. Então, a orientação é do ponto
para o ponto
.
Resposta
A curva é uma reta definida por
, traçada do ponto
ao ponto
com a orientação indo de
para
.