Esboce no plano x y as curvas determinadas pelas parametrizações r(t) = x(t) i + y(t) j descrevendo, em cada caso, a orientação:
(a) x(t) = 2 t e y(t) = t^2 - 1 para 0 <= t <= 1;

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos esboçar no plano a curva determinada pelas parametrizações dadas por e para . Estamos trabalhando com parametrizações de curvas no plano e vamos precisar relacionar e para desenhar a curva e entender sua orientação.

Passo 2

Primeiro, vamos expressar em função de para facilitar o esboço da curva. Sabemos que:
Substituindo na expressão de :
Então, a equação da curva no plano é:

Passo 3

Agora, vamos determinar o intervalo de . Como varia de 0 a 1:
Portanto, varia de 0 a 2. Substituindo esses valores na equação da curva:
  • Para : → ponto
  • Para : → ponto

Passo 4

Com esses pontos, sabemos que a curva começa em e termina em . A equação representa uma parábola aberta para cima.
Para determinar a orientação, observamos que aumenta de 0 a 1, o que significa que à medida que nos movemos ao longo da curva, a direção vai de para .

Resposta

A curva determinada pelas parametrizações e para é uma parábola no plano dada por , que se estende do ponto ao ponto . A orientação da curva vai da esquerda para a direita, do ponto inicial para o ponto final .

Exercícios relacionados