Esboce no plano
as curvas determinadas pelas parametrizações
descrevendo, em cada caso, a orientação:
(a)
e
para
;
(a)
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos esboçar no plano
a curva determinada pelas parametrizações dadas por
e
para
. Estamos trabalhando com parametrizações de curvas no plano e vamos precisar relacionar
e
para desenhar a curva e entender sua orientação.
Passo 2
Primeiro, vamos expressar
em função de
para facilitar o esboço da curva. Sabemos que:
Substituindo
na expressão de
:
Então, a equação da curva no plano
é:
Passo 3
Agora, vamos determinar o intervalo de
. Como
varia de 0 a 1:
Portanto,
varia de 0 a 2. Substituindo esses valores na equação da curva:
- Para
: → ponto - Para
: → ponto
Passo 4
Com esses pontos, sabemos que a curva começa em
e termina em
. A equação
representa uma parábola aberta para cima.
Para determinar a orientação, observamos que
aumenta de 0 a 1, o que significa que à medida que nos movemos ao longo da curva, a direção vai de
para
.
Resposta
A curva determinada pelas parametrizações
e
para
é uma parábola no plano
dada por
, que se estende do ponto
ao ponto
. A orientação da curva vai da esquerda para a direita, do ponto inicial
para o ponto final
.