Esboce no plano x y as curvas determinadas pelas parametrizações r(t) = x(t) i + y(t) j descrevendo, em cada caso, a orientação:
© x(t) = t - 1 e y(t) = (t-1)^2 para 0 <= t <= 1;

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para desenharmos no plano a curva determinada pelas parametrizações , onde e para . Aqui, vamos precisar entender como as funções paramétricas funcionam para plotar a curva e identificar a orientação dela no plano.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as funções dadas. Temos:
Essas são funções que nos dão as coordenadas e de um ponto no plano para cada valor de no intervalo de 0 a 1. Nosso objetivo é traçar esses pontos e ver como eles se conectam para formar a curva.

Passo 3

Vamos calcular alguns valores de dentro do intervalo para ver como e mudam:
  • Para :
    Ponto:
  • Para :
    Ponto:
  • Para :
    Ponto:

Passo 4

Plotando esses pontos no plano :
Vamos observar que conforme aumenta de 0 para 1, o valor de aumenta de -1 para 0 e diminui de 1 para 0. Isso nos dá uma ideia de como a curva se comporta.

Passo 5

Agora, vamos desenhar a curva ligando esses pontos. Como é sempre positivo ou zero, a curva estará acima do eixo ou tocando ele no ponto final. A forma da curva será uma parábola que abre para cima, começando no ponto , passando por e chegando em .

Passo 6

Para identificar a orientação, observamos como os pontos são percorridos conforme aumenta:
  • Começamos em no ponto .
  • Passamos por no ponto .
  • Terminamos em no ponto .
Isso indica que a curva é percorrida da esquerda para a direita, de cima para baixo.

Resposta

A curva é uma parábola que vai do ponto para , passando por , com orientação da esquerda para a direita e de cima para baixo no plano .

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