Determine a área limitada:
pelo laço de curva

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar a área limitada pelo laço da curva definida pelas equações paramétricas:
Para resolver isso, vamos usar a fórmula de cálculo de área para curvas parametrizadas, que envolve integrar uma função em termos de .

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a derivada de em relação a , já que a fórmula da área utiliza .

Passo 3

A fórmula para calcular a área sob uma curva parametrizada é:
Onde e são os valores de que delimitam a região da curva que queremos calcular a área.

Passo 4

Agora, vamos determinar os limites de integração e . Observando as equações paramétricas, percebemos que a curva se fecha quando varia de a . Isso porque, nesses pontos, a curva retorna ao mesmo ponto no plano .

Passo 5

Substituindo e na fórmula da área, temos:

Passo 6

Como a função integranda é par (ou seja, ), podemos simplificar a integração:

Passo 7

Calculando os limites da integral:

Resposta

A área limitada pelo laço de curva é unidades de área.

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Calcule, quando existirem, justificando as respostas, os seguintes limites:
Determine as equações das retas tangentes e normal ao gráfico da curva , no ponto com , sendo , definida parametricamente pelas equações