Determine a área limitada:
pelo laço de curva
pelo laço de curva
Passo 1
Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar a área limitada pelo laço da curva definida pelas equações paramétricas:
Para resolver isso, vamos usar a fórmula de cálculo de área para curvas parametrizadas, que envolve integrar uma função em termos de
.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar a derivada de
em relação a
, já que a fórmula da área utiliza
.
Passo 3
A fórmula para calcular a área
sob uma curva parametrizada é:
Onde
e
são os valores de
que delimitam a região da curva que queremos calcular a área.
Passo 4
Agora, vamos determinar os limites de integração
e
. Observando as equações paramétricas, percebemos que a curva se fecha quando
varia de
a
. Isso porque, nesses pontos, a curva retorna ao mesmo ponto no plano
.
Passo 5
Substituindo
e
na fórmula da área, temos:
Passo 6
Como a função integranda é par (ou seja,
), podemos simplificar a integração:
Passo 7
Calculando os limites da integral:
Resposta
A área limitada pelo laço de curva é
unidades de área.
Exercícios relacionados
Calcule, quando existirem, justificando as respostas, os seguintes limites:
Determine as equações das retas tangentes e normal ao gráfico da curva
, no ponto com
, sendo
, definida parametricamente pelas equações