integral0^pi e^2 x cos x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Aqui estamos lidando com cálculo, especificamente integrais envolvendo funções exponenciais e trigonométricas. Para resolver isso, vamos precisar usar a técnica de integração por partes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é integração por partes. É uma técnica que nos ajuda a integrar o produto de duas funções. A fórmula é:
integral u , dv = u v - integral v , du
Vamos escolher quais partes da nossa integral serão e .

Passo 3

Vamos definir:
u = cos x Rightarrow du = -sin x , dx
dv = e^2x , dx Rightarrow v = 12 e^2x
Escolhemos porque ao derivar, simplifica para , e porque é fácil de integrar.

Passo 4

Agora aplicamos a fórmula da integração por partes:
integral e^2x cos x , dx = u v - integral v , du
= cos x cdot 12 e^2x - integral 12 e^2x (-sin x) , dx
= 12 e^2x cos x + 12 integral e^2x sin x , dx
Agora, precisamos resolver a integral , que também usará integração por partes.

Passo 5

Vamos aplicar integração por partes novamente na nova integral u = sin x Rightarrow du = cos x , dx .
Definimos:
dv = e^2x , dx Rightarrow v = 12 e^2x
integral e^2x sin x , dx = sin x cdot 12 e^2x - integral 12 e^2x cos x , dx
Aplicando a fórmula:
= 12 e^2x sin x - 12 integral e^2x cos x , dx
Observe que temos a integral original aparecendo novamente. Vamos chamar essa integral de .

Passo 6

Substituindo de volta na expressão anterior:
I = 12 e^2x cos x + 12 ( 12 e^2x sin x - 12 I )
I = 12 e^2x cos x + 14 e^2x sin x - 14 I
Agora, vamos isolar I + 14 I = 12 e^2x cos x + 14 e^2x sin x :
54 I = 12 e^2x cos x + 14 e^2x sin x
I = 25 e^2x cos x + 15 e^2x sin x + C
Onde é a constante de integração.

Passo 7

Agora, aplicamos os limites de integração de integral0^pi e^2x cos x , dx = [ 25 e^2x cos x + 15 e^2x sin x ]0^pi a 25 e^2pi cos pi + 15 e^2pi sin pi = 25 e^2pi (-1) + 15 e^2pi (0) = -25 e^2pi :
25 e^0 cos 0 + 15 e^0 sin 0 = 25 (1)(1) + 15 (1)(0) = 25
Calculando nos limites:
Para -25 e^2pi - 25 = -25 (e^2pi + 1) :
Para :
Subtraindo:

Resposta

integral0^pi e^2x cos x , dx = -25 ( e^2pi + 1 )

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