Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Aqui estamos lidando com cálculo, especificamente integrais envolvendo funções exponenciais e trigonométricas. Para resolver isso, vamos precisar usar a técnica de integração por partes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é integração por partes. É uma técnica que nos ajuda a integrar o produto de duas funções. A fórmula é:
Vamos escolher quais partes da nossa integral serão e .

Passo 3

Vamos definir:
Escolhemos porque ao derivar, simplifica para , e porque é fácil de integrar.

Passo 4

Agora aplicamos a fórmula da integração por partes:
Agora, precisamos resolver a integral , que também usará integração por partes.

Passo 5

Vamos aplicar integração por partes novamente na nova integral .
Definimos:
Aplicando a fórmula:
Observe que temos a integral original aparecendo novamente. Vamos chamar essa integral de .

Passo 6

Substituindo de volta na expressão anterior:
Agora, vamos isolar :
Onde é a constante de integração.

Passo 7

Agora, aplicamos os limites de integração de a :
Calculando nos limites:
Para :
Para :
Subtraindo:

Resposta

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Determine a área limitada:
pelo laço de curva
Calcule, quando existirem, justificando as respostas, os seguintes limites:
As equações dão a posição de uma partícula no instante .
Determine a distância percorrida pela partícula durante o intervalo de tempo .