Calcule, quando existirem, justificando as respostas, os seguintes limites:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite que envolve funções trigonométricas e polinomiais. O enunciado pede para calcular o limite quando
se aproxima de 1 da expressão
. Para isso, vamos precisar usar a regra de L’Hospital, que é útil quando temos uma forma indeterminada como
.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar o que acontece quando substituímos
diretamente na expressão. No numerador, temos
. No denominador,
. Então, de fato, estamos com uma forma indeterminada
, o que nos permite usar a regra de L’Hospital.
Passo 3
A regra de L’Hospital diz que, se o limite de
resulta em
ou
, podemos derivar o numerador e o denominador separadamente e calcular o limite dessas derivadas. Então, vamos derivar o numerador e o denominador:
-
Derivada do numerador
: -
Derivada do denominador
:
Passo 4
Agora, aplicamos a regra de L’Hospital substituindo as derivadas no limite original:
Substituindo
:
Sabemos que
, então:
Resposta
O limite é
.