Calcule, quando existirem, justificando as respostas, os seguintes limites:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite que envolve funções trigonométricas e polinomiais. O enunciado pede para calcular o limite quando se aproxima de 1 da expressão . Para isso, vamos precisar usar a regra de L’Hospital, que é útil quando temos uma forma indeterminada como .

Passo 2

Primeiro, vamos verificar o que acontece quando substituímos diretamente na expressão. No numerador, temos . No denominador, . Então, de fato, estamos com uma forma indeterminada , o que nos permite usar a regra de L’Hospital.

Passo 3

A regra de L’Hospital diz que, se o limite de resulta em ou , podemos derivar o numerador e o denominador separadamente e calcular o limite dessas derivadas. Então, vamos derivar o numerador e o denominador:
  • Derivada do numerador :
  • Derivada do denominador :

Passo 4

Agora, aplicamos a regra de L’Hospital substituindo as derivadas no limite original:
Substituindo :
Sabemos que , então:

Resposta

O limite é .

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Seja a região do plano limitado pelas curvas e .
A região é girado em torno da reta formando um sólido . Calcule o volume de , usando o teorema de Pappus-Guldin.
Encontre todos os pontos de interseç̧ões da curva dada:
e o polo
Encontre uma equação para a cônica que satisfaz as condições dadas.
(e) Hiperbole, vértices e assintótas e .
Usando que para , calcule: