Calcule, quando existirem, justificando as respostas, os seguintes limites:
lim x 1 1-x^2sen(pi x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite que envolve funções trigonométricas e polinomiais. O enunciado pede para calcular o limite quando se aproxima de 1 da expressão . Para isso, vamos precisar usar a regra de L’Hospital, que é útil quando temos uma forma indeterminada como .

Passo 2

Primeiro, vamos verificar o que acontece quando substituímos diretamente na expressão. No numerador, temos . No denominador, . Então, de fato, estamos com uma forma indeterminada , o que nos permite usar a regra de L’Hospital.

Passo 3

A regra de L’Hospital diz que, se o limite de f'(x) = -2x resulta em g'(x) = pi cos(pi x) ou , podemos derivar o numerador e o denominador separadamente e calcular o limite dessas derivadas. Então, vamos derivar o numerador e o denominador:
  • Derivada do numerador :
  • Derivada do denominador :

Passo 4

Agora, aplicamos a regra de L’Hospital substituindo as derivadas no limite original:
limx 1 1 - x^2sin(pi x) = limx 1 -2xpi cos(pi x)
Substituindo -2(1)pi cos(pi cdot 1) = -2pi cos(pi) :
-2pi (-1) = 2pi
Sabemos que , então:

Resposta

O limite é .

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