Seja
a região do plano limitado pelas curvas
e
.
A região
é girado em torno da reta
formando um sólido
. Calcule o volume de
, usando o teorema de Pappus-Guldin.
A região
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma região do plano que está entre as curvas
e
. A tarefa é girar essa região em torno da reta
e descobrir o volume do sólido que se forma, usando o Teorema de Pappus-Guldin. Para isso, vamos precisar entender como calcular a área da região e encontrar o centro de massa (ou centróide) dessa área.
Passo 2
Primeiro, vamos desenhar as curvas para entender melhor a região que estamos lidando. A curva
é uma parábola que abre para cima, e
é uma parábola que abre para baixo e está deslocada para cima. Vamos encontrar os pontos onde essas duas curvas se encontram para saber os limites da nossa região.
Passo 3
Igualando as duas equações para encontrar os pontos de interseção:
Somando
em ambos os lados:
Dividindo por 2:
Então, as curvas se intersectam nos pontos
e
.
Passo 4
Agora que sabemos que a região está entre
e
, vamos calcular a área dessa região. A área
é a integral da diferença das funções de cima menos a de baixo entre esses limites:
Passo 5
Vamos resolver essa integral:
Calculando nos limites:
Para
:
Para
:
Então:
Passo 6
Agora, precisamos encontrar o centróide da área. Para isso, vamos calcular as coordenadas
e
. Pela simetria das curvas em relação ao eixo y, sabemos que
. Vamos calcular
:
Aqui,
e
. Então:
Simplificando:
Então,
.
Passo 7
Agora que temos a área
e o centróide
, vamos usar o Teorema de Pappus-Guldin para encontrar o volume
. Esse teorema diz que o volume é igual à área multiplicada pelo comprimento do caminho percorrido pelo centróide durante a rotação.
Como estamos girando em torno da reta
, a distância do centróide a essa reta é:
O caminho percorrido pelo centróide é a circunferência com raio 2:
Resposta
Aplicando o Teorema de Pappus-Guldin, o volume de
é:
Portanto, o volume de
é
unidades cúbicas.
Exercícios relacionados
Encontre todos os pontos de interseç̧ões da curva dada:
Determine as coordenadas do centro de gravidade da região plana especificada:
(14.3) Área delimitada pela parábola e pela reta
. a
(14.3) Área delimitada pela parábola
Calcule, quando existirem, justificando as respostas, os seguintes limites:
Encontre uma equação para a cônica que satisfaz as condições dadas.
(e) Hiperbole, vértices e assintótas
e
.
(e) Hiperbole, vértices