Seja a região do plano limitado pelas curvas e .
A região é girado em torno da reta formando um sólido . Calcule o volume de , usando o teorema de Pappus-Guldin.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma região do plano que está entre as curvas e . A tarefa é girar essa região em torno da reta e descobrir o volume do sólido que se forma, usando o Teorema de Pappus-Guldin. Para isso, vamos precisar entender como calcular a área da região e encontrar o centro de massa (ou centróide) dessa área.

Passo 2

Primeiro, vamos desenhar as curvas para entender melhor a região que estamos lidando. A curva é uma parábola que abre para cima, e é uma parábola que abre para baixo e está deslocada para cima. Vamos encontrar os pontos onde essas duas curvas se encontram para saber os limites da nossa região.

Passo 3

Igualando as duas equações para encontrar os pontos de interseção:
Somando em ambos os lados:
Dividindo por 2:
Então, as curvas se intersectam nos pontos e .

Passo 4

Agora que sabemos que a região está entre e , vamos calcular a área dessa região. A área é a integral da diferença das funções de cima menos a de baixo entre esses limites:

Passo 5

Vamos resolver essa integral:
Calculando nos limites:
Para :
Para :
Então:

Passo 6

Agora, precisamos encontrar o centróide da área. Para isso, vamos calcular as coordenadas e . Pela simetria das curvas em relação ao eixo y, sabemos que . Vamos calcular :
Aqui, e . Então:
Simplificando:
Então, .

Passo 7

Agora que temos a área e o centróide , vamos usar o Teorema de Pappus-Guldin para encontrar o volume . Esse teorema diz que o volume é igual à área multiplicada pelo comprimento do caminho percorrido pelo centróide durante a rotação.
Como estamos girando em torno da reta , a distância do centróide a essa reta é:
O caminho percorrido pelo centróide é a circunferência com raio 2:

Resposta

Aplicando o Teorema de Pappus-Guldin, o volume de é:
Portanto, o volume de é unidades cúbicas.

Exercícios relacionados

Encontre todos os pontos de interseç̧ões da curva dada:
e o polo
Determine as coordenadas do centro de gravidade da região plana especificada:
(14.3) Área delimitada pela parábola e pela reta . a
Calcule, quando existirem, justificando as respostas, os seguintes limites:
Encontre uma equação para a cônica que satisfaz as condições dadas.
(e) Hiperbole, vértices e assintótas e .