Encontre uma equação para a cônica que satisfaz as condições dadas.
(e) Hiperbole, vértices
e assintótas
e
.
(e) Hiperbole, vértices
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação de uma hipérbole que tem vértices nos pontos
e
, e que tem assíntotas dadas por
e
. Para isso, vamos usar o conteúdo sobre hipérboles, especificamente a forma padrão da equação e as propriedades dos vértices e das assíntotas.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o centro da hipérbole. Como os vértices são
e
, o centro fica no ponto médio entre eles, que é
. Isso significa que a hipérbole está centralizada na origem.
Passo 3
Agora, vamos lembrar a forma padrão da equação de uma hipérbole com eixo transversal no eixo x:
Aqui,
é a distância do centro aos vértices, e
está relacionado às assíntotas.
Passo 4
Vamos encontrar o valor de
. Sabemos que os vértices estão em
e
, então a distância
é 3.
Passo 5
Agora, vamos usar as assíntotas para encontrar
. As assíntotas de uma hipérbole nessa forma são dadas por:
No nosso caso, as assíntotas são
e
. Então:
Passo 6
Com os valores de
e
encontrados, podemos substituir na forma padrão da equação da hipérbole:
Resposta
A equação da hipérbole é:
Exercícios relacionados
Calcule, quando existirem, justificando as respostas, os seguintes limites:
Seja
a região do plano limitado pelas curvas
e
.
A região é girado em torno da reta
formando um sólido
. Calcule o volume de
, usando o teorema de Pappus-Guldin.
A região
Usando que
para
, calcule:
Descreva o movimento de uma partícula com posição
quando
varia do intervalo dado.
(a)
(a)