Encontre uma equação para a cônica que satisfaz as condições dadas.
(e) Hiperbole, vértices (3,0),(-3,0) e assintótas y = 2 x e y = -2 x.
(x^2)/9 - (y^2)/36 = 1 ((x+1)^2)/12 + ((y-4)^2)/16 = 1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação de uma hipérbole que tem vértices nos pontos (3,0) e (-3, 0), e que tem assíntotas dadas por e . Para isso, vamos usar o conteúdo sobre hipérboles, especificamente a forma padrão da equação e as propriedades dos vértices e das assíntotas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o centro da hipérbole. Como os vértices são (3,0) e (-3, 0), o centro fica no ponto médio entre eles, que é (0,0). Isso significa que a hipérbole está centralizada na origem.

Passo 3

Agora, vamos lembrar a forma padrão da equação de uma hipérbole com eixo transversal no eixo x:
Aqui, a é a distância do centro aos vértices, e b está relacionado às assíntotas.

Passo 4

Vamos encontrar o valor de a. Sabemos que os vértices estão em (3,0) e (-3, 0), então a distância a é 3.

Passo 5

Agora, vamos usar as assíntotas para encontrar b. As assíntotas de uma hipérbole nessa forma são dadas por:
No nosso caso, as assíntotas são e . Então:

Passo 6

Com os valores de a e b encontrados, podemos substituir na forma padrão da equação da hipérbole:

Resposta

A equação da hipérbole é:

Exercícios relacionados