Encontre uma equação para a cônica que satisfaz as condições dadas.
(e) Hiperbole, vértices e assintótas e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação de uma hipérbole que tem vértices nos pontos e , e que tem assíntotas dadas por e . Para isso, vamos usar o conteúdo sobre hipérboles, especificamente a forma padrão da equação e as propriedades dos vértices e das assíntotas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o centro da hipérbole. Como os vértices são e , o centro fica no ponto médio entre eles, que é . Isso significa que a hipérbole está centralizada na origem.

Passo 3

Agora, vamos lembrar a forma padrão da equação de uma hipérbole com eixo transversal no eixo x:
Aqui, é a distância do centro aos vértices, e está relacionado às assíntotas.

Passo 4

Vamos encontrar o valor de . Sabemos que os vértices estão em e , então a distância é 3.

Passo 5

Agora, vamos usar as assíntotas para encontrar . As assíntotas de uma hipérbole nessa forma são dadas por:
No nosso caso, as assíntotas são e . Então:

Passo 6

Com os valores de e encontrados, podemos substituir na forma padrão da equação da hipérbole:

Resposta

A equação da hipérbole é:

Exercícios relacionados

Calcule, quando existirem, justificando as respostas, os seguintes limites:
Seja a região do plano limitado pelas curvas e .
A região é girado em torno da reta formando um sólido . Calcule o volume de , usando o teorema de Pappus-Guldin.
Usando que para , calcule:
Descreva o movimento de uma partícula com posição quando varia do intervalo dado.
(a)