Encontre todos os pontos de interseç̧ões da curva dada:
e o polo

Passo 1

Então, a gente tem um exercício de coordenadas polares. Nele, precisamos encontrar onde duas curvas se cruzam. As equações das curvas são e . Para resolver isso, vamos precisar igualar essas duas equações e descobrir os valores de que satisfazem essa condição.

Passo 2

Primeiro, a gente iguala as duas equações para encontrar os pontos onde as curvas se intersectam:

Passo 3

Agora, vamos resolver essa equação para . Subtraímos de ambos os lados:

Passo 4

Em seguida, isolamos dividindo ambos os lados por 2:

Passo 5

Agora, precisamos achar os valores de que satisfazem no intervalo de a . Sabemos que quando e .

Passo 6

Com os valores de , podemos achar os valores correspondentes de usando qualquer uma das equações originais. Vamos usar :
Para :
Para :

Passo 7

Além desses pontos, precisamos verificar se o polo (a origem, onde ) também é um ponto de interseção. Vamos verificar substituindo em ambas as equações:
Para :
Para :
Como não está entre os valores que satisfazem ambas as equações, o polo não é um ponto de interseção para essas curvas.

Resposta

Os pontos de interseção das curvas são e .

Exercícios relacionados

Determine as coordenadas do centro de gravidade da região plana especificada:
(14.3) Área delimitada pela parábola e pela reta . a
Encontre a área da superfície obtida pela rotação da curva dada em torno do eixo :
(a)
Seja a região do plano limitado pelas curvas e .
A região é girado em torno da reta formando um sólido . Calcule o volume de , usando o teorema de Pappus-Guldin.
Calcule, quando existirem, justificando as respostas, os seguintes limites: