Encontre todos os pontos de interseç̧ões da curva dada:
e o polo
Passo 1
Então, a gente tem um exercício de coordenadas polares. Nele, precisamos encontrar onde duas curvas se cruzam. As equações das curvas são
e
. Para resolver isso, vamos precisar igualar essas duas equações e descobrir os valores de
que satisfazem essa condição.
Passo 2
Primeiro, a gente iguala as duas equações para encontrar os pontos onde as curvas se intersectam:
Passo 3
Agora, vamos resolver essa equação para
. Subtraímos
de ambos os lados:
Passo 4
Em seguida, isolamos
dividindo ambos os lados por 2:
Passo 5
Agora, precisamos achar os valores de
que satisfazem
no intervalo de
a
. Sabemos que
quando
e
.
Passo 6
Com os valores de
, podemos achar os valores correspondentes de
usando qualquer uma das equações originais. Vamos usar
:
Para
:
Para
:
Passo 7
Além desses pontos, precisamos verificar se o polo (a origem, onde
) também é um ponto de interseção. Vamos verificar substituindo
em ambas as equações:
Para
:
Para
:
Como
não está entre os valores que satisfazem ambas as equações, o polo não é um ponto de interseção para essas curvas.
Resposta
Os pontos de interseção das curvas são
e
.
Exercícios relacionados
Determine as coordenadas do centro de gravidade da região plana especificada:
(14.3) Área delimitada pela parábola e pela reta
. a
(14.3) Área delimitada pela parábola
Encontre a área da superfície obtida pela rotação da curva dada em torno do eixo
:
(a)
(a)
Seja
a região do plano limitado pelas curvas
e
.
A região é girado em torno da reta
formando um sólido
. Calcule o volume de
, usando o teorema de Pappus-Guldin.
A região
Calcule, quando existirem, justificando as respostas, os seguintes limites: