Calcule, quando existirem, justificando as respostas, os seguintes limites:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A questão pede para calcularmos:
Aqui, estamos lidando com funções trigonométricas (
) e raízes quadradas. Para resolver isso, vamos precisar usar algumas técnicas de limites e propriedades das funções. Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, observamos que diretamente substituindo
, tanto o numerador quanto o denominador se tornam 0, o que nos dá uma forma indeterminada
. Isso significa que precisamos de uma técnica para simplificar a expressão. Uma boa estratégia aqui é multiplicar o numerador e o denominador pelo conjugado do numerador para eliminar as raízes.
O conjugado de
é
. Vamos fazer isso:
Passo 3
Agora, vamos multiplicar os numeradores e denominadores:
No numerador:
No denominador:
Então, a expressão fica:
Passo 4
Agora, simplificamos
. Sabemos que:
Além disso, quando
se aproxima de 0,
também se aproxima de 0, então as raízes no denominador ficam:
Então, substituindo na expressão:
Resposta
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Calcule: