Calcule, quando existirem, justificando as respostas, os seguintes limites: lim x 0 raiz1+sen x-raiz1-sen xx

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A questão pede para calcularmos:
lim x 0 raiz1+sen , x-raiz1-sen , xx
Aqui, estamos lidando com funções trigonométricas ( ) e raízes quadradas. Para resolver isso, vamos precisar usar algumas técnicas de limites e propriedades das funções. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, observamos que diretamente substituindo raiz1+sen , x-raiz1-sen , xx times raiz1+sen , x+raiz1-sen , xraiz1+sen , x+raiz1-sen , x , tanto o numerador quanto o denominador se tornam 0, o que nos dá uma forma indeterminada . Isso significa que precisamos de uma técnica para simplificar a expressão. Uma boa estratégia aqui é multiplicar o numerador e o denominador pelo conjugado do numerador para eliminar as raízes.
O conjugado de é . Vamos fazer isso:

Passo 3

Agora, vamos multiplicar os numeradores e denominadores:
No numerador:
(raiz1+sen , x-raiz1-sen , x)(raiz1+sen , x+raiz1-sen , x) = (1+sen , x) - (1-sen , x) = 2,sen , x
No denominador:
x times (raiz1+sen , x+raiz1-sen , x)
Então, a expressão fica:
2,sen , xx ( raiz1+sen , x+raiz1-sen , x )

Passo 4

Agora, simplificamos limx to 0 sen , xx = 1 . Sabemos que:
raiz1+0 + raiz1-0 = 1 + 1 = 2
Além disso, quando 2 times 12 = 1 se aproxima de 0, também se aproxima de 0, então as raízes no denominador ficam:
Então, substituindo na expressão:

Resposta

lim x 0 raiz1+sen , x-raiz1-sen , xx = 1

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