Calcule: lim x 0^+ sen^2 xx^4-x^3

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A questão é calcular o limite quando se aproxima de 0 pela direita de . Isso envolve conceitos de Cálculo, especificamente limites e algumas propriedades das funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar entender como a função seno se comporta perto de 0 e aplicar algumas técnicas de simplificação de limites.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o comportamento de sin x approx x quando x 0 quando está próximo de 0. Sabemos que, para valores pequenos de , é aproximadamente igual a . Ou seja:
Portanto, quando está perto de 0.

Passo 3

Agora, vamos substituir essa aproximação no numerador da nossa expressão:
sin^2 xx^4 - x^3 approx x^2x^4 - x^3

Passo 4

Vamos simplificar a expressão no denominador fatorando x^4 - x^3 = x^3(x - 1) :
x^2x^3(x - 1) = 1x(x - 1)
Então, nossa expressão fica:

Passo 5

Agora, vamos analisar o limite de limx 0^+ 1x(x - 1) quando 10 cdot (-1) = 10 -infty se aproxima de 0 pela direita:
Substituindo :

Resposta

Portanto, o limite é igual a .

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