, onde
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função
e precisamos encontrar a 20ª derivada dessa função avaliada em
, ou seja,
.
Para resolver isso, vamos utilizar conceitos de séries de Taylor, que nos ajudam a expressar funções como somas de potências de
. Isso será útil porque as derivadas de
em
estão diretamente relacionadas aos coeficientes dessa série.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como funciona a série de Taylor para a função
, onde
. A série de Taylor para
centrada em 0 é:
Substituindo
, temos:
Passo 3
Agora, precisamos relacionar essa série com as derivadas de
em
. Em uma série de Taylor, a
-ésima derivada de
em 0 está relacionada ao coeficiente de
na série pela fórmula:
No nosso caso, a função
expande-se apenas em termos de potências pares de
(isto é,
). Portanto, todas as derivadas de
em ordens ímpares avaliadas em 0 serão zero. Como estamos interessados na 20ª derivada, que é par, precisamos encontrar o coeficiente de
na série.
Passo 4
Vamos identificar o termo correspondente a
na série de
:
Queremos que
, então:
Portanto, o coeficiente de
é:
Passo 5
Agora, aplicamos a fórmula para encontrar
:
Podemos simplificar isso dividindo o fatorial por 10:
Resposta
Portanto, a 20ª derivada de
em
é:
Exercícios relacionados
Calcule:
Calcule, quando existirem, justificando as respostas, os seguintes limites:
Nos exercícios 35 a 38, encontre a série de Maclaurin para cada função, indicando o intervalo de convergência da expansão.
Encontre o limite.