f^(20)(0), onde f(x) = ln(1 + x^2)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função e precisamos encontrar a 20ª derivada dessa função avaliada em , ou seja, .
Para resolver isso, vamos utilizar conceitos de séries de Taylor, que nos ajudam a expressar funções como somas de potências de . Isso será útil porque as derivadas de em estão diretamente relacionadas aos coeficientes dessa série.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funciona a série de Taylor para a função , onde . A série de Taylor para centrada em 0 é:
Substituindo , temos:

Passo 3

Agora, precisamos relacionar essa série com as derivadas de em . Em uma série de Taylor, a -ésima derivada de em 0 está relacionada ao coeficiente de na série pela fórmula:
é
No nosso caso, a função expande-se apenas em termos de potências pares de (isto é, ). Portanto, todas as derivadas de em ordens ímpares avaliadas em 0 serão zero. Como estamos interessados na 20ª derivada, que é par, precisamos encontrar o coeficiente de na série.

Passo 4

Vamos identificar o termo correspondente a na série de :
Queremos que , então:
Portanto, o coeficiente de é:

Passo 5

Agora, aplicamos a fórmula para encontrar :
Podemos simplificar isso dividindo o fatorial por 10:

Resposta

Portanto, a 20ª derivada de em é:

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