Inverter a ordem de integração.
.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício de matemática que você tem. A gente precisa inverter a ordem de integração de uma integral dupla, que está assim:
Isso faz parte do conteúdo de Cálculo Integral, especificamente sobre integrais duplas e regiões de integração. Para resolver isso, vamos precisar entender como visualizar a região sobre a qual estamos integrando e como trocar a ordem dos limites de integração.
Passo 2
Primeiro, vamos entender os limites de integração atuais. O
varia de 0 até
. Para cada
, o
varia de
até
. Isso define uma região no plano
que queremos descrever de outra maneira.
Passo 3
Para inverter a ordem de integração, precisamos expressar
em termos de
. Isso significa que vamos primeiro fixar um valor de
e encontrar os limites correspondentes para
.
Passo 4
Vamos identificar as funções que delimitam
:
Precisamos encontrar os valores de
onde essas duas funções se encontram para determinar os novos limites de integração.
Passo 5
Igualando as duas funções para encontrar o ponto de interseção:
Essa equação não é fácil de resolver analiticamente, mas podemos observar que no intervalo
,
e
se cruzam somente em
. Portanto, os limites de
vão de 0 até
.
Passo 6
Agora, para cada
fixo, precisamos encontrar os limites de
. A partir de
, resolvemos para
:
Então,
varia de
até o valor que inverte a função
, que é
.
Passo 7
Agora temos os novos limites de integração. O
varia de 0 até
, e para cada
,
varia de
até
.
Resposta
A integral com a ordem de integração invertida fica:
Exercícios relacionados
Calcule, quando existirem, justificando as respostas, os seguintes limites:
Se
, use a série de Maclaurin da função
para mostrar que
.
Calcule, quando existirem, justificando as respostas, os seguintes limites:
Calcule, quando existirem, justificando as respostas, os seguintes limites: