Inverter a ordem de integração.
integral0^pi4 integral2 raiz2 xpi^sen(x) f(x, y) d y d x.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício de matemática que você tem. A gente precisa inverter a ordem de integração de uma integral dupla, que está assim:
integral0^pi4 integral2 raiz2 xpi^sin(x) f(x, y) , dy , dx
Isso faz parte do conteúdo de Cálculo Integral, especificamente sobre integrais duplas e regiões de integração. Para resolver isso, vamos precisar entender como visualizar a região sobre a qual estamos integrando e como trocar a ordem dos limites de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos entender os limites de integração atuais. O varia de 0 até . Para cada , o varia de até . Isso define uma região no plano que queremos descrever de outra maneira.

Passo 3

Para inverter a ordem de integração, precisamos expressar em termos de . Isso significa que vamos primeiro fixar um valor de e encontrar os limites correspondentes para .

Passo 4

Vamos identificar as funções que delimitam :
Precisamos encontrar os valores de onde essas duas funções se encontram para determinar os novos limites de integração.

Passo 5

Igualando as duas funções para encontrar o ponto de interseção:
2 raiz2 xpi = sin(x)
Essa equação não é fácil de resolver analiticamente, mas podemos observar que no intervalo , e se cruzam somente em . Portanto, os limites de vão de 0 até .

Passo 6

Agora, para cada y = 2 raiz2 xpi implies raiz2 x = pi y2 implies 2x = (pi y2)^2 implies x = pi^2 y^28 fixo, precisamos encontrar os limites de . A partir de , resolvemos para :
Então, varia de até o valor que inverte a função , que é .

Passo 7

Agora temos os novos limites de integração. O varia de 0 até , e para cada , varia de até .

Resposta

A integral com a ordem de integração invertida fica:
integral0^raiz22 integralpi^2 y^28^arcsin(y) f(x, y) , dx , dy

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