Calcule, se existirem, os seguintes limites:
b) lim x -infty(1+1x)^5 x

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular o limite quando tende a menos infinito de . Isso envolve o estudo de limites de funções exponenciais, e para resolver, vamos precisar usar propriedades de limites e a definição da constante .

Passo 2

Vamos começar reescrevendo a expressão para facilitar. Temos:
(1 + 1x)^5x
Quando tende a menos infinito, tende a zero. Então, estamos lidando com uma expressão da forma úú, que é uma situação clássica para usar a definição de .

Passo 3

Lembrando a definição de limn to infty (1 + 1n)^n = e :
(1 + 1x)^5x = [(1 + 1x)^x]^5
Podemos adaptar essa definição para o nosso caso. Observe que:

Passo 4

Agora, vamos analisar o limite interno:
limx to -infty (1 + 1x)^x
Como (1 + 1-n)^-n = (1 - 1n)^-n tende a menos infinito, podemos fazer limn to infty (1 - 1n)^-n = e com limx to -infty (1 + 1x)^x = e tendendo a mais infinito. Assim:
Sabemos que:
Portanto,

Passo 5

Voltando à expressão original:
[(1 + 1x)^x]^5
Substituindo o limite que encontramos:
(e)^5 = e^5

Resposta

O limite é .

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