Considerando que a temperatura de determinado corpo no instante t = 0 é T0, use a equação obtida no item (a) para mostrar que a temperatura do corpo em um instante t qualquer é dada por
T(t) = Tm + (T0 - Tm) e^(k t)

Passo 1

Vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos um corpo cuja temperatura inicial, no instante , é . Queremos usar uma equação que já foi obtida anteriormente (no item a) para mostrar que a temperatura do corpo em qualquer instante é dada por
Aqui, é a temperatura ambiente, e é uma constante relacionada ao processo de resfriamento ou aquecimento. Vamos precisar usar conceitos de equações diferenciais que descrevem como a temperatura de um objeto muda ao longo do tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a equação diferencial que modela a variação da temperatura de um corpo no tempo. A equação geralmente usada para resfriamento ou aquecimento é a Lei de Resfriamento de Newton, que é dada por:
Essa equação diz que a taxa de mudança da temperatura em relação ao tempo é proporcional à diferença entre a temperatura do corpo e a temperatura ambiente .

Passo 3

Para resolver essa equação diferencial, vamos separar as variáveis e . Reorganizamos a equação para:
Agora, vamos integrar ambos os lados da equação.

Passo 4

Integrando o lado esquerdo em relação a e o lado direito em relação a :
A integral do lado esquerdo é e a do lado direito é , onde é a constante de integração. Assim, temos:

Passo 5

Para simplificar, vamos remover o valor absoluto e reescrever a equação exponencialmente:
Podemos chamar de outra constante, digamos , então:

Passo 6

Agora, aplicamos a condição inicial. No instante , a temperatura . Substituindo na equação:
Então, a equação fica:

Passo 7

Finalmente, isolamos para obter a expressão desejada:
Note que o sinal no expoente pode variar dependendo da convenção adotada para . Se considerarmos como uma constante positiva representando resfriamento, a expressão final é:

Resposta

A temperatura do corpo em qualquer instante é dada por

Exercícios relacionados

Usando a definição de limite prove que:
d) lim x 1 5=5
Determine o domínio das seguintes funções:
t) y = x / raiz(x - raiz(x))
Calcule, se existirem, os seguintes limites:
b) lim x -infty(1+1x)^5 x
Calcule, se existirem, os seguintes limites:
g) lim x +infty(1+1x)^4 x