Considerando que a temperatura de determinado corpo no instante
é
, use a equação obtida no item (a) para mostrar que a temperatura do corpo em um instante
qualquer é dada por
Passo 1
Vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos um corpo cuja temperatura inicial, no instante
, é
. Queremos usar uma equação que já foi obtida anteriormente (no item a) para mostrar que a temperatura do corpo em qualquer instante
é dada por
Aqui,
é a temperatura ambiente, e
é uma constante relacionada ao processo de resfriamento ou aquecimento. Vamos precisar usar conceitos de equações diferenciais que descrevem como a temperatura de um objeto muda ao longo do tempo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a equação diferencial que modela a variação da temperatura de um corpo no tempo. A equação geralmente usada para resfriamento ou aquecimento é a Lei de Resfriamento de Newton, que é dada por:
Essa equação diz que a taxa de mudança da temperatura
em relação ao tempo
é proporcional à diferença entre a temperatura do corpo
e a temperatura ambiente
.
Passo 3
Para resolver essa equação diferencial, vamos separar as variáveis
e
. Reorganizamos a equação para:
Agora, vamos integrar ambos os lados da equação.
Passo 4
Integrando o lado esquerdo em relação a
e o lado direito em relação a
:
A integral do lado esquerdo é
e a do lado direito é
, onde
é a constante de integração. Assim, temos:
Passo 5
Para simplificar, vamos remover o valor absoluto e reescrever a equação exponencialmente:
Podemos chamar
de outra constante, digamos
, então:
Passo 6
Agora, aplicamos a condição inicial. No instante
, a temperatura
. Substituindo na equação:
Então, a equação fica:
Passo 7
Finalmente, isolamos
para obter a expressão desejada:
Note que o sinal no expoente pode variar dependendo da convenção adotada para
. Se considerarmos
como uma constante positiva representando resfriamento, a expressão final é:
Resposta
A temperatura do corpo em qualquer instante
é dada por
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Usando a definição de limite prove que:
d)
d)
Determine o domínio das seguintes funções:
t)
t)
Calcule, se existirem, os seguintes limites:
b)
b)
Calcule, se existirem, os seguintes limites:
g)
g)