Usando a definição de limite prove que:
d)
d)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para provar que o limite de uma função constante é igual ao próprio valor dessa constante quando
se aproxima de algum ponto. Especificamente, queremos mostrar que:
Para fazer isso, vamos usar a definição de limite, que é uma ferramenta fundamental no cálculo para formalizar o que significa que uma função se aproxima de um certo valor quando
se aproxima de algum ponto.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a definição de limite. Dizemos que:
Significa que para todo número positivo
(epsilon), por menor que seja, existe um número positivo
(delta) tal que, sempre que
estiver dentro de
de
(isto é,
), então
estará dentro de
de
(isto é,
).
Passo 3
Aplicando isso ao nosso caso, queremos provar que:
Aqui, a função
é simplesmente a constante 5,
e
. Segundo a definição, precisamos mostrar que para todo
, existe um
tal que, se
, então
.
Passo 4
Vamos analisar a expressão
. Simplificando, temos:
Isso significa que, independentemente do valor de
,
será sempre 0, que é certamente menor que qualquer
.
Passo 5
Como
é sempre verdadeiro, não importa qual seja
ou
. Portanto, podemos escolher qualquer valor positivo para
. Por exemplo, podemos simplesmente escolher
.
Passo 6
Resumo final: para todo
, escolhendo
, garantimos que quando
, então
. Isso satisfaz a definição de limite.
Resposta
Assim, provamos que
.
Exercícios relacionados
Determine o domínio das seguintes funções:
t)
t)
Determine o domínio das seguintes funções:
p)
p)
Considerando que a temperatura de determinado corpo no instante
é
, use a equação obtida no item (a) para mostrar que a temperatura do corpo em um instante
qualquer é dada por
Calcule, se existirem, os seguintes limites:
b)
b)