Calcule, se existirem, os seguintes limites:
b)
b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite:
Aqui, precisamos usar conhecimentos de limites, funções trigonométricas e séries de Taylor para aproximar as funções quando
está perto de 0.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar o numerador
. Para isso, vamos aproximar
e
usando séries de Taylor em torno de
.
Sabemos que para pequenos valores de
:
Portanto:
Passo 3
Agora, vamos aproximar as raízes quadradas usando a expansão de Taylor para
quando
é pequeno:
Aplicando isso às nossas aproximações:
Passo 4
Substituindo essas aproximações no numerador:
Passo 5
Agora, vamos simplificar o denominador
. Para pequenos
:
Então,
Passo 6
Agora, substituímos as aproximações do numerador e denominador no limite:
Resposta
O limite vale
.