Calcule, se existirem, os seguintes limites:
b) lim x 0^+ raizcos 2 x-raiz1+x sin xtg^2 x2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite:
limx 0^+ raizcos 2x - raiz1 + x sin xtan^2(x2)
Aqui, precisamos usar conhecimentos de limites, funções trigonométricas e séries de Taylor para aproximar as funções quando está perto de 0.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o numerador cos 2x approx 1 - 2x^2 . Para isso, vamos aproximar sin x approx x e 1 + x sin x approx 1 + x^2 usando séries de Taylor em torno de .
Sabemos que para pequenos valores de :
Portanto:

Passo 3

Agora, vamos aproximar as raízes quadradas usando a expansão de Taylor para raiz1 + y approx 1 + y2 quando raizcos 2x approx raiz1 - 2x^2 approx 1 - x^2 é pequeno:
raiz1 + x sin x approx raiz1 + x^2 approx 1 + x^22
Aplicando isso às nossas aproximações:

Passo 4

Substituindo essas aproximações no numerador:
raizcos 2x - raiz1 + x sin x approx (1 - x^2) - (1 + x^22) = -3x^22

Passo 5

Agora, vamos simplificar o denominador tan(x2) approx x2 . Para pequenos tan^2(x2) approx (x2)^2 = x^24 :
Então,

Passo 6

Agora, substituímos as aproximações do numerador e denominador no limite:
limx 0^+ -3x^22x^24 = limx 0^+ -3x^22 cdot 4x^2 = limx 0^+ -6 = -6

Resposta

O limite vale .

Exercícios relacionados