Use a regra da cadeia para calcular a derivada das seguintes funções:
§
,
§
Passo 1
Beleza, vamos resolver a derivada da função
usando a regra da cadeia. Esse exercício está na matéria de Cálculo Diferencial, mais especificamente sobre derivadas de funções compostas. Para resolver, vamos precisar aplicar a regra do quociente e a regra da cadeia.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as partes da função que formam o quociente. Temos:
- Numerador:
- Denominador:
Vamos precisar derivar tanto o numerador quanto o denominador.
Passo 3
Vamos derivar o numerador
. A derivada de
é
, então:
Passo 4
Agora, vamos derivar o denominador
.
Primeiro, derivamos
. Aplicando a regra da cadeia:
Em seguida, derivamos
:
Então, a derivada do denominador é:
Passo 5
Agora, aplicamos a regra do quociente, que diz que:
Substituindo
,
,
e
:
Passo 6
Vamos simplificar o numerador passo a passo.
Primeiro, expandimos
:
Então:
Agora, expandimos
:
Então:
Agora, somamos as duas partes do numerador:
Passo 7
Agora, substituímos o numerador simplificado de volta na expressão da derivada:
Resposta
A derivada da função é: