Use a regra da cadeia para calcular a derivada das seguintes funções:
§ f(x) = x^2 / ((-x)^3 + 3x^2),

Passo 1

Beleza, vamos resolver a derivada da função usando a regra da cadeia. Esse exercício está na matéria de Cálculo Diferencial, mais especificamente sobre derivadas de funções compostas. Para resolver, vamos precisar aplicar a regra do quociente e a regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes da função que formam o quociente. Temos:
  • Numerador:
  • Denominador:
Vamos precisar derivar tanto o numerador quanto o denominador.

Passo 3

Vamos derivar o numerador . A derivada de é , então:

Passo 4

Agora, vamos derivar o denominador .
Primeiro, derivamos . Aplicando a regra da cadeia:
Em seguida, derivamos :
Então, a derivada do denominador é:

Passo 5

Agora, aplicamos a regra do quociente, que diz que:
Substituindo , , e :

Passo 6

Vamos simplificar o numerador passo a passo.
Primeiro, expandimos :
Então:
Agora, expandimos :
Então:
Agora, somamos as duas partes do numerador:

Passo 7

Agora, substituímos o numerador simplificado de volta na expressão da derivada:

Resposta

A derivada da função é:

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