Use a regra da cadeia para calcular a derivada das seguintes funções:
(i) f(x) = x^2 sen(1/x),

Passo 1

Beleza! Você quer calcular a derivada da função usando a regra da cadeia. Estamos lidando com cálculo diferencial, mais especificamente com derivadas de funções que são produtos e possuem funções compostas. Para resolver isso, vamos precisar aplicar tanto a regra do produto quanto a regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes da função que estão sendo multiplicadas. Nossa função pode ser vista como o produto de duas funções:

Passo 3

Para derivar o produto de duas funções, usamos a regra do produto. Essa regra diz que se , então a derivada é:

Passo 4

Vamos calcular . Sabemos que a derivada de é . Então:

Passo 5

Agora, precisamos encontrar . Observamos que é uma função composta. Para derivar isso, usamos a regra da cadeia.

Passo 6

A regra da cadeia nos diz que se temos uma função composta , a derivada é:
No nosso caso, e .

Passo 7

Primeiro, derivamos em relação a :
Em seguida, derivamos . Podemos reescrever isso como , e a derivada será:

Passo 8

Aplicando a regra da cadeia, temos:

Passo 9

Agora, voltamos à regra do produto. Substituímos , , e na fórmula:

Passo 10

Simplificando a expressão:

Resposta

A derivada da função é:

Exercícios relacionados