Use a regra da cadeia para calcular a derivada das seguintes funções:
(i)
,
(i)
Passo 1
Beleza! Você quer calcular a derivada da função
usando a regra da cadeia. Estamos lidando com cálculo diferencial, mais especificamente com derivadas de funções que são produtos e possuem funções compostas. Para resolver isso, vamos precisar aplicar tanto a regra do produto quanto a regra da cadeia.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as partes da função que estão sendo multiplicadas. Nossa função pode ser vista como o produto de duas funções:
Passo 3
Para derivar o produto de duas funções, usamos a regra do produto. Essa regra diz que se
, então a derivada
é:
Passo 4
Vamos calcular
. Sabemos que a derivada de
é
. Então:
Passo 5
Agora, precisamos encontrar
. Observamos que
é uma função composta. Para derivar isso, usamos a regra da cadeia.
Passo 6
A regra da cadeia nos diz que se temos uma função composta
, a derivada é:
No nosso caso,
e
.
Passo 7
Primeiro, derivamos
em relação a
:
Em seguida, derivamos
. Podemos reescrever isso como
, e a derivada será:
Passo 8
Aplicando a regra da cadeia, temos:
Passo 9
Agora, voltamos à regra do produto. Substituímos
,
,
e
na fórmula:
Passo 10
Simplificando a expressão:
Resposta
A derivada da função
é: