Calcule, se existirem, os seguintes limites:
j)
j)
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular o limite:
Aqui, estamos lidando com limites que envolvem funções radicais (raiz quadrada). Para resolver esse tipo de limite, muitas vezes precisamos simplificar a expressão para eliminar formas indeterminadas, como
, que ocorre quando substituímos
diretamente na função.
Passo 2
Vamos verificar o que acontece quando substituímos
na expressão:
No numerador:
No denominador:
Como obtemos
, precisamos simplificar a expressão para encontrar o limite.
Passo 3
Vamos começar simplificando o numerador e o denominador separadamente. Usaremos a técnica de racionalizar, que envolve multiplicar o numerador e o denominador pelo conjugado das expressões com radicais.
Primeiro, racionalizamos o numerador:
Multiplicamos e dividimos pelo conjugado:
Aplicando a identidade
:
Simplificando o numerador:
Então, o numerador racionalizado fica:
Passo 4
Agora, vamos racionalizar o denominador da expressão original:
Multiplicamos e dividimos pelo conjugado:
Aplicando a identidade
:
Simplificando o numerador:
Então, o denominador racionalizado fica:
Passo 5
Agora, reescrevemos todo o limite com as expressões racionalizadas:
Isso pode ser simplificado multiplicando pelo inverso do denominador:
Passo 6
Vamos fatorar os polinômios no numerador e denominador para simplificar:
Para
:
Para
:
Substituindo de volta na expressão:
Passo 7
Agora, podemos cancelar termos iguais no numerador e denominador:
Os termos
e os sinais negativos se cancelam:
Passo 8
Agora, substituímos
na expressão simplificada:
Calculando cada parte:
Substituindo na expressão:
Simplificando a fração dividindo numerador e denominador por 2:
Resposta
O limite é
.