Calcule, se existirem, os seguintes limites:
j) lim x 2 raiz25 x-1-x-5raiz18-x-x-2

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular o limite:
limx 2 raiz25x - 1 - x - 5raiz18 - x - x - 2
Aqui, estamos lidando com limites que envolvem funções radicais (raiz quadrada). Para resolver esse tipo de limite, muitas vezes precisamos simplificar a expressão para eliminar formas indeterminadas, como , que ocorre quando substituímos diretamente na função.

Passo 2

Vamos verificar o que acontece quando substituímos raiz25 times 2 - 1 - 2 - 5 = raiz50 - 1 - 7 = raiz49 - 7 = 7 - 7 = 0 na expressão:
No numerador:
raiz18 - 2 - 2 - 2 = raiz16 - 4 = 4 - 4 = 0
No denominador:
Como obtemos , precisamos simplificar a expressão para encontrar o limite.

Passo 3

Vamos começar simplificando o numerador e o denominador separadamente. Usaremos a técnica de racionalizar, que envolve multiplicar o numerador e o denominador pelo conjugado das expressões com radicais.
Primeiro, racionalizamos o numerador:
raiz25x - 1 - x - 5
Multiplicamos e dividimos pelo conjugado:
(raiz25x - 1 - x - 5) times raiz25x - 1 + x + 5raiz25x - 1 + x + 5
Aplicando a identidade (25x - 1) - (x + 5)^2raiz25x - 1 + x + 5 :
25x - 1 - (x^2 + 10x + 25) = -x^2 + 15x - 26
Simplificando o numerador:
-x^2 + 15x - 26raiz25x - 1 + x + 5
Então, o numerador racionalizado fica:

Passo 4

Agora, vamos racionalizar o denominador da expressão original:
raiz18 - x - x - 2
Multiplicamos e dividimos pelo conjugado:
(raiz18 - x - x - 2) times raiz18 - x + x + 2raiz18 - x + x + 2
Aplicando a identidade (18 - x) - (x + 2)^2raiz18 - x + x + 2 :
18 - x - (x^2 + 4x + 4) = -x^2 - 5x + 14
Simplificando o numerador:
-x^2 - 5x + 14raiz18 - x + x + 2
Então, o denominador racionalizado fica:

Passo 5

Agora, reescrevemos todo o limite com as expressões racionalizadas:
limx 2 -x^2 + 15x - 26raiz25x - 1 + x + 5-x^2 - 5x + 14raiz18 - x + x + 2
Isso pode ser simplificado multiplicando pelo inverso do denominador:
limx 2 -x^2 + 15x - 26raiz25x - 1 + x + 5 times raiz18 - x + x + 2-x^2 - 5x + 14

Passo 6

Vamos fatorar os polinômios no numerador e denominador para simplificar:
Para -x^2 + 15x - 26 = -(x^2 - 15x + 26) = -(x - 13)(x - 2) :
-x^2 - 5x + 14 = -(x^2 + 5x - 14) = -(x + 7)(x - 2)
Para limx 2 -(x - 13)(x - 2)raiz25x - 1 + x + 5 times raiz18 - x + x + 2-(x + 7)(x - 2) :
Substituindo de volta na expressão:

Passo 7

Agora, podemos cancelar termos iguais no numerador e denominador:
Os termos limx 2 (x - 13)raiz25x - 1 + x + 5 times raiz18 - x + x + 2(x + 7) e os sinais negativos se cancelam:

Passo 8

Agora, substituímos x - 13 = 2 - 13 = -11 na expressão simplificada:
Calculando cada parte:
raiz25 times 2 - 1 + 2 + 5 = raiz50 - 1 + 7 = raiz49 + 7 = 7 + 7 = 14
raiz18 - 2 + 2 + 2 = raiz16 + 4 = 4 + 4 = 8
x + 7 = 2 + 7 = 9
-1114 times 89 = -11 times 814 times 9 = -88126
Substituindo na expressão:
-4463
Simplificando a fração dividindo numerador e denominador por 2:

Resposta

O limite é .

Exercícios relacionados