Vamos resolver o limite . Aqui, estamos trabalhando com o conceito de limite no infinito, que estuda o comportamento de uma função à medida que a variável cresce sem limites. Para provar isso, vamos usar a definição formal de limite.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função . À medida que fica muito grande, também aumenta muito, tornando o quase irrelevante. Então, a expressão dentro da raiz quadrada, , se comporta aproximadamente como . Como está indo para , podemos simplificar para .
Passo 3
Assim, a função original se aproxima de quando tende ao infinito. Sabemos que . Portanto, esperamos que o limite da nossa função também seja 0. Mas vamos provar isso formalmente usando a definição de limite.
Passo 4
A definição de limite no infinito diz que: se, para todo , existe um número tal que, para todo , . No nosso caso, queremos mostrar que .
Passo 5
Então, queremos que . Isso simplifica para . Vamos resolver essa desigualdade para encontrar .
Passo 6
A desigualdade é equivalente a . Elevando ambos os lados ao quadrado, temos .
Passo 7
Agora, isolamos : . Para que isso seja válido, precisamos que , ou seja, . Supondo que , podemos continuar.
Passo 8
Tirando a raiz quadrada de ambos os lados: . Então, podemos escolher .
Passo 9
Portanto, para todo (onde ), se escolhermos , então para todo , teremos .
Resposta
Assim, provamos que utilizando a definição formal de limite.