Usando a definição de limite prove que:
q) lim x +infty 1raizx^2+9=0

Passo 1

Vamos resolver o limite . Aqui, estamos trabalhando com o conceito de limite no infinito, que estuda o comportamento de uma função à medida que a variável cresce sem limites. Para provar isso, vamos usar a definição formal de limite.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função . À medida que fica muito grande, também aumenta muito, tornando o quase irrelevante. Então, a expressão dentro da raiz quadrada, , se comporta aproximadamente como . Como está indo para , podemos simplificar para .

Passo 3

Assim, a função original se aproxima de quando tende ao infinito. Sabemos que . Portanto, esperamos que o limite da nossa função também seja 0. Mas vamos provar isso formalmente usando a definição de limite.

Passo 4

A definição de limite no infinito diz que: se, para todo , existe um número tal que, para todo , . No nosso caso, queremos mostrar que .

Passo 5

Então, queremos que . Isso simplifica para . Vamos resolver essa desigualdade para encontrar .

Passo 6

A desigualdade é equivalente a . Elevando ambos os lados ao quadrado, temos .

Passo 7

Agora, isolamos : . Para que isso seja válido, precisamos que , ou seja, . Supondo que , podemos continuar.

Passo 8

Tirando a raiz quadrada de ambos os lados: . Então, podemos escolher .

Passo 9

Portanto, para todo (onde ), se escolhermos , então para todo , teremos .

Resposta

Assim, provamos que utilizando a definição formal de limite.

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