Calcule, se existirem, os seguintes limites:
b) lim x 1^+ raizx^2-1+raizx-1raizx-1

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular o limite:
limx 1^+ raizx^2-1 + raizx - 1raizx-1
Conteúdo da matéria: Estamos lidando com limites envolvendo funções que tendem a indeterminações do tipo . Para resolver, vamos precisar usar técnicas de álgebra para simplificar a expressão e, possivelmente, aplicar regras de limite.
O que vamos precisar: Manipulação algébrica para simplificar expressões com raízes quadradas e entender o comportamento das funções à medida que se aproxima de 1 pela direita.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o comportamento de cada termo à medida que se aproxima de 1 pela direita ( ):
  • : Quando está próximo de 1, será próximo de 0, então a raiz também será próxima de 0.
  • : Quando , .
  • : Como , é positivo e próximo de 0, então também será próximo de 0.
Portanto, tanto o numerador quanto o denominador tendem a 0, formando uma indeterminação do tipo . Isso nos indica que precisamos simplificar a expressão para resolver o limite.

Passo 3

Vamos fazer uma mudança de variável para simplificar a expressão. Seja limh 0^+ raiz(1 + h)^2 - 1 + raiz1 + h - 1raizh , de modo que quando raiz(1 + h)^2 - 1 = raiz1 + 2h + h^2 - 1 = raiz2h + h^2 = raizh(2 + h) = raizh cdot raiz2 + h , raiz1 + h = 1 + h2 - h^28 + dots approx 1 + h2 (para h pequeno) .
Substituindo na expressão do limite:
Simplificando dentro das raízes:
E:

Passo 4

Substituindo essas aproximações na expressão do limite:
raizh cdot raiz2 + h + (1 + h2) - 1raizh = raizh cdot raiz2 + h + h2raizh
Podemos separar a fração:
raizh cdot raiz2 + hraizh + h2raizh = raiz2 + h + raizh2
À medida que :

Passo 5

Portanto, o limite simplificado é:
limh 0^+ ( raiz2 + h + raizh2 ) = raiz2 + 0 = raiz2

Resposta

O limite calculado é .

Exercícios relacionados