Calcule, se existirem, os seguintes limites:
c) lim x +infty(1+4x)^x

Passo 1

Vamos resolver o limite . Esse exercício faz parte do estudo de limites envolvendo potências e exponenciais. Para resolver, vamos precisar entender como limites desse tipo se relacionam com o número de Euler, .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da definição do número e = limn to infty (1 + 1n)^n , que é uma constante matemática aproximadamente igual a 2,71828. Uma das formas de definir é através do limite:
Essa fórmula nos mostra como uma expressão do tipo se comporta quando tende ao infinito.

Passo 3

Observando o nosso limite , podemos relacioná-lo com a definição de . Aqui, o que está dentro dos parênteses é parecido com a expressão , só que em vez de , temos .

Passo 4

Para adaptar nosso limite à definição de (1+4x)^x = [(1+4x)^x4]^4 , vamos reescrever a expressão:
Essa reescrita nos ajuda a visualizar a conexão com a definição de .

Passo 5

Agora, analisando limx to +infty (1+4x)^x4 = e , quando tende a , também tende a . Portanto, podemos aplicar a definição de :

Passo 6

Voltando à expressão reescrita:
[(1+4x)^x4]^4
Sabemos que o limite da parte interna é limx to +infty [(1+4x)^x4]^4 = e^4 , então elevando ao quarto poder:

Resposta

O limite é .

Exercícios relacionados

Use a regra da cadeia para calcular a derivada das seguintes funções:
(k) f(x) = 2^(3x + sen^2(pi x)),
Use a regra da cadeia para calcular a derivada das seguintes funções:
(f) f(x) = x / (2 + e^(-3 x^2)),
Use a regra da cadeia para calcular a derivada das seguintes funções:
(o) f(x) = (pi x^2 + cos(1 / x))^(1/4),
Calcule, se existirem, os seguintes limites:
h) lim x -0(1-x)^5x