Use a regra da cadeia para calcular a derivada das seguintes funções:
(k) f(x) = 2^(3x + sen^2(pi x)),

Passo 1

Beleza, vamos resolver a derivada da função usando a regra da cadeia. Aqui, estamos trabalhando com funções exponenciais e trigonométricas, então vamos precisar conhecer a regra da cadeia e como derivar exponenciais e funções trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para derivar uma função exponencial da forma , onde é uma constante e é uma função, a derivada é:
No nosso caso, e .

Passo 3

Vamos encontrar , que é a derivada de . Derivamos cada termo separadamente:
  1. A derivada de em relação a é .
  2. Para derivar , usamos a regra da cadeia novamente. Seja , então . A derivada é .

Passo 4

Calculando :
Então, a derivada de é:

Passo 5

Agora, juntando as derivadas dos dois termos de :

Passo 6

Finalmente, aplicando a regra da cadeia para derivar :

Resposta

A derivada de é:

Exercícios relacionados

Use a regra da cadeia para calcular a derivada das seguintes funções:
(f) f(x) = x / (2 + e^(-3 x^2)),
Considere a função f(x) = { e^(-1/x^2) se x ≠ 0, 0 se x = 0 }
(a) Determine f' e f''.
Calcule, se existirem, os seguintes limites:
c) lim x +infty(1+4x)^x
Use a regra da cadeia para calcular a derivada das seguintes funções:
(o) f(x) = (pi x^2 + cos(1 / x))^(1/4),