Use a regra da cadeia para calcular a derivada das seguintes funções:
(o)
,
(o)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra calcular a derivada da função
usando a regra da cadeia. A regra da cadeia é uma técnica de derivação que usamos quando temos uma função dentro de outra função. Aqui, temos uma função externa que é algo elevado a
e uma função interna que é
. Vamos precisar saber como derivar potências e funções trigonométricas, além de aplicar a regra da cadeia passo a passo.
Passo 2
Primeiro, identifiquemos as partes da nossa função para aplicar a regra da cadeia. Vamos chamar a função interna de
e a função externa de
, onde:
Então, nossa função original fica
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar a derivada da função externa
em relação a
. Usando a regra da potência, temos:
Isso significa que a derivada da parte externa é
vezes
elevado a
.
Passo 4
Em seguida, precisamos derivar a função interna
em relação a
. Vamos derivar cada termo separadamente:
- A derivada de
é:
- A derivada de
envolve a regra da cadeia novamente. Primeiro, derivamos a função externa em relação a que é , e depois multiplicamos pela derivada de que é . Então:
Juntando os dois resultados:
Passo 5
Agora, aplicamos a regra da cadeia para encontrar a derivada total
. A regra da cadeia diz que:
Substituindo os valores que encontramos:
Resposta
A derivada da função é:
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Calcule, se existirem, os seguintes limites:
c)
c)
Use a regra da cadeia para calcular a derivada das seguintes funções:
(k) ,
(k)
Calcule, se existirem, os seguintes limites:
h)
h)
Calcule, se existirem, os seguintes limites:
m)
m)