Use a regra da cadeia para calcular a derivada das seguintes funções:
(o) f(x) = (pi x^2 + cos(1 / x))^(1/4),

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra calcular a derivada da função usando a regra da cadeia. A regra da cadeia é uma técnica de derivação que usamos quando temos uma função dentro de outra função. Aqui, temos uma função externa que é algo elevado a e uma função interna que é . Vamos precisar saber como derivar potências e funções trigonométricas, além de aplicar a regra da cadeia passo a passo.

Passo 2

Primeiro, identifiquemos as partes da nossa função para aplicar a regra da cadeia. Vamos chamar a função interna de e a função externa de , onde:
Então, nossa função original fica .

Passo 3

Agora, vamos encontrar a derivada da função externa em relação a . Usando a regra da potência, temos:
Isso significa que a derivada da parte externa é vezes elevado a .

Passo 4

Em seguida, precisamos derivar a função interna em relação a . Vamos derivar cada termo separadamente:
  1. A derivada de é:
  1. A derivada de envolve a regra da cadeia novamente. Primeiro, derivamos a função externa em relação a que é , e depois multiplicamos pela derivada de que é . Então:
Juntando os dois resultados:

Passo 5

Agora, aplicamos a regra da cadeia para encontrar a derivada total . A regra da cadeia diz que:
Substituindo os valores que encontramos:

Resposta

A derivada da função é:

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Calcule, se existirem, os seguintes limites:
c) lim x +infty(1+4x)^x
Use a regra da cadeia para calcular a derivada das seguintes funções:
(k) f(x) = 2^(3x + sen^2(pi x)),
Calcule, se existirem, os seguintes limites:
h) lim x -0(1-x)^5x
Calcule, se existirem, os seguintes limites:
m) lim x -infty raizx^2-x-1+x2 x+raiz[3]x