Use a regra da cadeia para calcular a derivada das seguintes funções:
(f) f(x) = x / (2 + e^(-3 x^2)),

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão pede. Precisamos calcular a derivada da função usando a regra da cadeia. Isso envolve entender como derivar funções compostas, onde uma função está dentro de outra.

Passo 2

Para derivar , vamos usar a regra do quociente, que é uma combinação da regra do produto e da regra da cadeia. A regra do quociente nos diz que se temos uma função na forma , sua derivada é:
Aqui, podemos identificar:

Passo 3

Vamos calcular e .
  1. Derivada de :
  1. Derivada de :
Aqui, usamos a regra da cadeia para derivar . A derivada de é , onde e .

Passo 4

Agora, aplicamos a regra do quociente:

Passo 5

Simplificamos a expressão:
Podemos fatorar no numerador:

Resposta

A derivada da função é:

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