Calcule, se existirem, os seguintes limites:
f) lim x 2 raizx^2-2-raizxraizx+2-2

Passo 1

Vamos calcular o limite quando limx 2 raizx^2-2 - raizxraizx+2 - 2 se aproxima de 2 para a função:
Aqui, estamos trabalhando com o conceito de limites, que nos ajuda a entender o comportamento de uma função perto de um ponto específico. Para resolver esse limite, vamos precisar manipular algaritmos que envolvem raízes quadradas e utilizar técnicas de racionalização para simplificar a expressão.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar substituir raiz2^2-2 - raiz2raiz2+2 - 2 = raiz4-2 - raiz2raiz4 - 2 = raiz2 - raiz22 - 2 = 00 diretamente na função para ver se conseguimos encontrar o limite:
Obtivemos uma forma indeterminada , o que significa que precisamos simplificar a expressão para encontrar o limite.

Passo 3

Para resolver a forma indeterminada, vamos racionalizar o numerador e o denominador. Racionalizar significa eliminar as raízes quadradas do denominador ou numerador multiplicando pela expressão conjugada.
Primeiro, racionalizamos o numerador multiplicando e dividindo por raizx^2-2 - raizxraizx+2 - 2 times raizx^2-2 + raizxraizx^2-2 + raizx = (x^2-2) - x(raizx+2 - 2)(raizx^2-2 + raizx) :
x^2 - 2 - x = x^2 - x - 2
Simplificando o numerador:

Passo 4

Agora, vamos racionalizar o denominador. Multiplicamos e dividimos pela expressão conjugada x^2 - x - 2(raizx+2 - 2)(raizx^2-2 + raizx) times raizx+2 + 2raizx+2 + 2 = (x^2 - x - 2)(raizx+2 + 2)(x+2) - 4)(raizx^2-2 + raizx) :
x + 2 - 4 = x - 2
Simplificando o denominador:
(x^2 - x - 2)(raizx+2 + 2)(x - 2)(raizx^2-2 + raizx)
Então, a expressão fica:

Passo 5

Agora, observamos que o termo x^2 - x - 2 = (x - 2)(x + 1) pode ser fatorado:
(x - 2)(x + 1)(raizx+2 + 2)(x - 2)(raizx^2-2 + raizx)
Substituindo na expressão:
(x + 1)(raizx+2 + 2)raizx^2-2 + raizx
Podemos cancelar o termo no numerador e denominador:

Passo 6

Agora que simplificamos a expressão, podemos substituir (2 + 1)(raiz2+2 + 2)raiz2^2-2 + raiz2 = 3(raiz4 + 2)raiz2 + raiz2 = 3(2 + 2)2raiz2 = 3 times 42raiz2 = 122raiz2 = 6raiz2 :
6raiz2 times raiz2raiz2 = 6raiz22 = 3raiz2
Para simplificar ainda mais, racionalizamos o denominador:

Resposta

O limite é .

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Use a expressão da transformada de Laplace de funções básicas e propriedades da transformada para calcular L{f(t)}.
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Usando a definição de limite prove que:
r) lim x 1^- raiz1+x1-x=+infty
Determine os valores dos parâmetros a e b de modo que a função
f(x)= raizx^2+8+2 x-1x+1 & se x<-1 a x+b & se -1 <= x <= 0 sen xx & se x>0
seja contínua em R.
Use a expressão da transformada de Laplace de funções básicas e propriedades da transformada para calcular L{f(t)}.
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