Use a expressão da transformada de Laplace de funções básicas e propriedades da transformada para calcular
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de transformada de Laplace juntos! A pergunta quer que a gente calcule a transformada de Laplace da função
. Para isso, vamos usar as transformadas de funções básicas e algumas propriedades da transformada de Laplace.
Passo 2
Primeiro, vamos expandir a expressão
para facilitar a aplicação das transformadas. Usando a fórmula do binômio, temos:
Passo 3
Agora, vamos calcular a transformada de Laplace de cada termo separadamente. Lembra que a transformada de Laplace de uma função
é definida por:
Vamos usar as transformadas básicas:
-
Transformada de
: -
Transformada de
: -
Transformada de
: -
Transformada de
:
Passo 4
Agora, vamos aplicar a linearidade da transformada de Laplace, que permite que a transformada de uma soma seja a soma das transformadas. Assim:
Substituindo as transformadas que calculamos:
Simplificando:
Resposta
A transformada de Laplace de
é:
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Usando a definição de limite prove que:
r)
r)
Use a expressão da transformada de Laplace de funções básicas e propriedades da transformada para calcular
.
(a)
(a)
Calcule, se existirem, os seguintes limites:
f)
f)
Determine os valores dos parâmetros
e
de modo que a função
seja contínua em R.