Determine os valores dos parâmetros a e b de modo que a função
f(x)= raizx^2+8+2 x-1x+1 & se x<-1 a x+b & se -1 <= x <= 0 sen xx & se x>0
seja contínua em R.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função que é definida em três partes diferentes, dependendo de . Nosso objetivo é encontrar os valores de e de tal forma que essa função seja contínua em todo o conjunto dos números reais . Para isso, vamos precisar trabalhar com o conceito de continuidade de funções por partes e garantir que não haja “saltos” nas junções das partes da função.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para o ponto onde a função muda de uma expressão para outra, que é em limx to -1^- raizx^2+8 + 2x - 1x + 1 . Queremos que os limites à esquerda e à direita de raiz(-1)^2+8 + 2(-1) - 1-1 + 1 = raiz9 - 2 - 10 = 3 - 2 - 10 = 00 sejam iguais e também iguais ao valor da função nesse ponto.
Vamos calcular o limite da função quando raizx^2+8 + 2x - 1 = raizx^2+8 + 2x - 1 se aproxima de limx to -1^- ddx(raizx^2+8 + 2x - 1)ddx(x + 1) = limx to -1^- xraizx^2+8 + 21 = -1raiz1 + 8 + 2 = -13 + 2 = 53 pela esquerda:
Substituindo :
Esse forma indeterminada indica que podemos simplificar a expressão. Vamos racionalizar o numerador:
Notamos que, quando se aproxima de , o denominador se aproxima de 0. Usando a regra de L’Hôpital:

Passo 3

Agora, vamos ver o valor da função na parte central, que é f(-1) = a(-1) + b = -a + b :
-a + b = 53
Para garantir a continuidade em , esse valor deve ser igual ao limite que encontramos:

Passo 4

Agora, vamos analisar a continuidade em limx to 0^- (a x + b) = a(0) + b = b . Precisamos que o limite quando limx to 0^+ sin xx = 1 se aproxima de f(0) = a(0) + b = b pela esquerda seja igual ao limite pela direita e ao valor da função em b = 1 .
Primeiro, o limite pela esquerda:
Agora, o limite pela direita:
E o valor da função em usando a parte central:
Para continuidade, temos:

Passo 5

Com -a + 1 = 53 implies -a = 53 - 1 = 23 implies a = -23 , podemos usar a equação do Passo 3 para encontrar :

Resposta

Os valores dos parâmetros que garantem a continuidade da função são:
a = -23 e b = 1

Exercícios relacionados

Calcule, se existirem, os seguintes limites:
f) lim x 2 raizx^2-2-raizxraizx+2-2
Use a expressão da transformada de Laplace de funções básicas e propriedades da transformada para calcular L{f(t)}.
f(t) = (t + 1)^3
Use a expressão da transformada de Laplace de funções básicas e propriedades da transformada para calcular L{f(t)}.
d f(t) = 1 + e^(4 t)
Use a expressão da transformada de Laplace de funções básicas e propriedades da transformada para calcular L{f(t)}.
f(t) = sen(2t) cos(2t)