Determine os valores dos parâmetros e de modo que a função
seja contínua em R.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função que é definida em três partes diferentes, dependendo de . Nosso objetivo é encontrar os valores de e de tal forma que essa função seja contínua em todo o conjunto dos números reais . Para isso, vamos precisar trabalhar com o conceito de continuidade de funções por partes e garantir que não haja “saltos” nas junções das partes da função.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para o ponto onde a função muda de uma expressão para outra, que é em limx to -1^- raizx^2+8 + 2x - 1x + 1 . Queremos que os limites à esquerda e à direita de raiz(-1)^2+8 + 2(-1) - 1-1 + 1 = raiz9 - 2 - 10 = 3 - 2 - 10 = 00 sejam iguais e também iguais ao valor da função nesse ponto.
Vamos calcular o limite da função quando raizx^2+8 + 2x - 1 = raizx^2+8 + 2x - 1 se aproxima de limx to -1^- ddx(raizx^2+8 + 2x - 1)ddx(x + 1) = limx to -1^- xraizx^2+8 + 21 = -1raiz1 + 8 + 2 = -13 + 2 = 53 pela esquerda:
Substituindo :
Esse forma indeterminada indica que podemos simplificar a expressão. Vamos racionalizar o numerador:
Notamos que, quando se aproxima de , o denominador se aproxima de 0. Usando a regra de L’Hôpital:
Passo 3
Agora, vamos ver o valor da função na parte central, que é f(-1) = a(-1) + b = -a + b :
-a + b = 53
Para garantir a continuidade em , esse valor deve ser igual ao limite que encontramos:
Passo 4
Agora, vamos analisar a continuidade em limx to 0^- (a x + b) = a(0) + b = b . Precisamos que o limite quando limx to 0^+ sin xx = 1 se aproxima de f(0) = a(0) + b = b pela esquerda seja igual ao limite pela direita e ao valor da função em b = 1 .
Primeiro, o limite pela esquerda:
Agora, o limite pela direita:
E o valor da função em usando a parte central:
Para continuidade, temos:
Passo 5
Com -a + 1 = 53 implies -a = 53 - 1 = 23 implies a = -23 , podemos usar a equação do Passo 3 para encontrar :
Resposta
Os valores dos parâmetros que garantem a continuidade da função são: