Usando a definição de limite prove que:
r) lim x 1^- raiz1+x1-x=+infty

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para provar que, quando se aproxima de 1 pela esquerda, a expressão tende ao infinito. Isso envolve o conceito de limite, especialmente quando a função não se aproxima de um número finito, mas cresce sem limites. Para resolver isso, vamos usar a definição formal de limite que tende ao infinito.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a definição de limite que tende ao infinito. Dizemos que:
limx to a^- f(x) = +infty
significa que, para qualquer número grande , existe um valor tal que, sempre que , a função . Ou seja, podemos fazer tão grande quanto quisermos escolhendo suficientemente próximo de 1 pela esquerda.

Passo 3

Agora, vamos aplicar essa definição à nossa função:
f(x) = raiz1+x1-x
Queremos mostrar que, para qualquer raiz1+x1-x > M , existe um tal que se , então:
Vamos resolver essa desigualdade para encontrar .

Passo 4

Primeiro, elevamos ambos os lados ao quadrado para simplificar:
1+x1-x > M^2
Multiplicando ambos os lados por 1 + x > M^2 (1 - x) (que é positivo porque 1 + x > M^2 - M^2 x está se aproximando de 1 pela esquerda, então x + M^2 x > M^2 - 1 ):
x(1 + M^2) > M^2 - 1
Distribuindo o x > M^2 - 11 + M^2 :
1 - de
Agora, vamos reunir os termos com de de um lado:
Fatorando :
Isolando :
Como queremos que esteja próximo de 1 pela esquerda, escolhemos tal que:
Resolvendo para :

Passo 5

Concluímos que, para qualquer , podemos escolher de modo que, se , então . Isso satisfaz a definição de que .

Resposta

Portanto, demonstramos que à medida que limx 1^- raiz1+x1-x = +infty se aproxima de 1 pela esquerda, cresce sem limites, ou seja:

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