Usando a definição de limite prove que:
r)
r)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para provar que, quando
se aproxima de 1 pela esquerda, a expressão
tende ao infinito. Isso envolve o conceito de limite, especialmente quando a função não se aproxima de um número finito, mas cresce sem limites. Para resolver isso, vamos usar a definição formal de limite que tende ao infinito.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a definição de limite que tende ao infinito. Dizemos que:
significa que, para qualquer número grande
, existe um valor
tal que, sempre que
, a função
. Ou seja, podemos fazer
tão grande quanto quisermos escolhendo
suficientemente próximo de 1 pela esquerda.
Passo 3
Agora, vamos aplicar essa definição à nossa função:
Queremos mostrar que, para qualquer
, existe um
tal que se
, então:
Vamos resolver essa desigualdade para encontrar
.
Passo 4
Primeiro, elevamos ambos os lados ao quadrado para simplificar:
Multiplicando ambos os lados por
(que é positivo porque
está se aproximando de 1 pela esquerda, então
):
Distribuindo o
:
Agora, vamos reunir os termos com
de um lado:
Fatorando
:
Isolando
:
Como queremos que
esteja próximo de 1 pela esquerda, escolhemos
tal que:
Resolvendo para
:
Passo 5
Concluímos que, para qualquer
, podemos escolher
de modo que, se
, então
. Isso satisfaz a definição de que
.
Resposta
Portanto, demonstramos que à medida que
se aproxima de 1 pela esquerda,
cresce sem limites, ou seja:
Exercícios relacionados
Use a expressão da transformada de Laplace de funções básicas e propriedades da transformada para calcular
.
(a)
(a)
Usando a definição de limite prove que:
a)
a)
Use a expressão da transformada de Laplace de funções básicas e propriedades da transformada para calcular
.
Calcule, se existirem, os seguintes limites:
f)
f)