Calcule, se existirem, os seguintes limites:
j) lim x 0 x3-raizx+9

Passo 1

Beleza, vamos calcular o limite . Esse exercício é de cálculo de limites, usando propriedades de funções e manipulação algébrica. Para resolver, vamos precisar entender como lidar com expressões que envolvem radicais e ver o que acontece quando se aproxima de 0.

Passo 2

Primeiro, vamos substituir 03 - raiz0 + 9 = 03 - 3 = 00 diretamente na expressão para ver se conseguimos encontrar o limite de forma simples:
Esse resultado é uma indeterminação, o que significa que precisamos manipular a expressão para encontrar o limite.

Passo 3

Quando temos uma indeterminação como x3 - raizx+9 times 3 + raizx+93 + raizx+9 = x(3 + raizx+9)(3 - raizx+9)(3 + raizx+9) , uma técnica útil é a racionalização. Vamos multiplicar o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador para eliminar a raiz. O conjugado de é .

Passo 4

Agora, vamos simplificar o denominador usando a diferença de quadrados:
(3 - raizx+9)(3 + raizx+9) = 3^2 - (raizx+9)^2 = 9 - (x + 9) = 9 - x - 9 = -x
Então, a expressão fica:
x(3 + raizx+9)-x

Passo 5

Agora, podemos cancelar o termo x(3 + raizx+9)-x = 3 + raizx+9-1 = - (3 + raizx+9) no numerador e no denominador:

Passo 6

Agora, vamos calcular o limite dessa expressão quando - (3 + raiz0+9) = - (3 + 3) = -6 se aproxima de 0:

Resposta

limx 0 x3-raizx+9 = -6

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