Calcule, se existirem, os seguintes limites:
y) lim z 0 cos (8 z)-12 z

Passo 1

Beleza, vamos resolver o limite . Isso faz parte do estudo de limites em cálculo, onde vamos precisar entender como as funções trigonométricas se comportam perto de certos pontos, nesse caso, próximo de .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar de uma aproximação útil para o cosseno quando o ângulo está bem perto de zero. Sabemos que:
cos(x) approx 1 - x^22
Isso significa que, para valores de cos(8z) approx 1 - (8z)^22 = 1 - 64z^22 = 1 - 32z^2 pequenos, o cosseno de é aproximadamente igual a . No nosso caso, , então podemos substituir:

Passo 3

Agora, substituímos essa aproximação na expressão original do limite:
cos(8z) - 12z approx (1 - 32z^2) - 12z = -32z^22z = -32z2 = -16z

Passo 4

Finalmente, calculamos o limite de lim z 0 -16z = -16 times 0 = 0 quando tende a 0:

Resposta

O limite é igual a 0.

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