Calcule, se existirem, os seguintes limites:
o) lim x -infty tan ^-1(7-x+3 x^5)

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Precisamos calcular o limite quando tende a menos infinito da função . Aqui, estamos trabalhando com limites e funções trigonométricas inversas, especificamente a função arco-tangente ( ). Para resolver isso, vamos analisar como a expressão dentro do arco-tangente se comporta quando fica muito, muito negativo.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a expressão dentro do : . Quando se aproxima de menos infinito ( ), os termos com potências mais altas de vão dominar o comportamento da expressão. No nosso caso, o termo de maior grau é .

Passo 3

Vamos simplificar a expressão considerando apenas o termo dominante:
7 - x + 3x^5 approx 3x^5
Isso acontece porque, quando é muito grande em magnitude (positiva ou negativa), o termo é muito maior que e , tornando esses últimos desprezíveis em comparação.

Passo 4

Agora, vamos analisar 3x^5 to -infty quando x to -infty quando . Como é negativo e a potência é ímpar ( ), também será negativo. Portanto:

Passo 5

Então, a expressão dentro do tan^-1(7 - x + 3x^5) approx tan^-1(3x^5) to tan^-1(-infty) está tendendo para menos infinito:

Passo 6

Sabemos que a função arco-tangente tem os seguintes limites:
limy to infty tan^-1(y) = pi2
limy to -infty tan^-1(y) = -pi2
No nosso caso, como tan^-1(-infty) = -pi2 , temos:

Resposta

O limite é .

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