Calcule, se existirem, os seguintes limites:
k) lim x 0 x^4 sin (pix)

Passo 1

Vamos resolver o limite . Esse problema está relacionado ao estudo de limites, mais especificamente envolvendo funções trigonométricas e comportamentos de funções quando a variável se aproxima de um valor específico. Para resolver, vamos precisar entender como a função seno se comporta e aplicar o Teorema do Confronto (ou Teorema do Sandwich).

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a função -1 <= sin(pix) <= 1 . Sabemos que o seno de qualquer número está sempre entre -1 e 1, ou seja:

Passo 3

Agora, multiplicamos todos os lados da desigualdade por - x^4 <= x^4 sin(pix) <= x^4 . Como é sempre positivo (independente do valor de ), a desigualdade permanece na mesma ordem:

Passo 4

Vamos calcular o limite das duas extremidades quando limx to 0 -x^4 = 0 e limx to 0 x^4 = 0 se aproxima de 0:
Ambos os limites são iguais a 0.

Passo 5

Segundo o Teorema do Confronto, se a função está sempre entre duas funções que têm o mesmo limite, então o limite da função intermediária também é esse mesmo valor. Assim, concluímos que:
lim x 0 x^4 sin (pix) = 0

Resposta

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