Calcule, se existirem, os seguintes limites:
p)

Passo 1

Então, a gente tem um limite para calcular: . A matéria envolve limites e funções trigonométricas inversas, especificamente a função arco-tangente. Para resolver, vamos precisar entender como os termos de maior grau no numerador e no denominador influenciam o comportamento da fração quando vai para o infinito.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da arco-tangente: . Quando tende para o infinito, os termos de maior grau (aqueles com potências mais altas de ) dominam o comportamento da função. Então, vamos identificar esses termos.

Passo 3

No numerador, os termos são e . O termo de maior grau é . No denominador, temos e . Aqui, o termo de maior grau é .

Passo 4

Agora, vamos considerar apenas os termos de maior grau para simplificar a fração:
Isso simplifica para:

Passo 5

Então, a expressão dentro da arco-tangente simplifica para aproximadamente quando tende para o infinito. Agora, precisamos calcular o limite de quando vai para o infinito.

Passo 6

Sabemos que é a função que dá o ângulo cujo tangente é . À medida que cresce sem limite, se aproxima de radians (ou 90 graus).

Passo 7

Portanto, quando vai para o infinito, também vai para o infinito, e se aproxima de .

Resposta

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k)
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e)
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u)
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z)