Calcule, se existirem, os seguintes limites:
p)
p)
Passo 1
Então, a gente tem um limite para calcular:
. A matéria envolve limites e funções trigonométricas inversas, especificamente a função arco-tangente. Para resolver, vamos precisar entender como os termos de maior grau no numerador e no denominador influenciam o comportamento da fração quando
vai para o infinito.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da arco-tangente:
. Quando
tende para o infinito, os termos de maior grau (aqueles com potências mais altas de
) dominam o comportamento da função. Então, vamos identificar esses termos.
Passo 3
No numerador, os termos são
e
. O termo de maior grau é
. No denominador, temos
e
. Aqui, o termo de maior grau é
.
Passo 4
Agora, vamos considerar apenas os termos de maior grau para simplificar a fração:
Isso simplifica para:
Passo 5
Então, a expressão dentro da arco-tangente simplifica para aproximadamente
quando
tende para o infinito. Agora, precisamos calcular o limite de
quando
vai para o infinito.
Passo 6
Sabemos que
é a função que dá o ângulo cujo tangente é
. À medida que
cresce sem limite,
se aproxima de
radians (ou 90 graus).
Passo 7
Portanto, quando
vai para o infinito,
também vai para o infinito, e
se aproxima de
.
Resposta
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z)
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