Determine se o que está estabelecido é Falso (F) ou Verdadeiro (V). Se verdadeiro, explique por quê. Se falso, explique por quê ou dê um contra-exemplo do que está estabelecido.
(a) ( ) , neste caso, dizemos que a reta é uma assíntota horizontal.
(b) ( ) não existe.
© ( ) Não existe nenhum número real tal que seja uma raiz da equação .
(d) ( ) A função é descontínua no ponto .
(e) ( ) O limite .

Passo 1

Vamos analisar a afirmação de que e se a reta é uma assíntota horizontal.
Aqui, estamos lidando com limites infinitos e assíntotas. Precisamos entender o comportamento da função quando se aproxima de 5 pela direita.

Passo 2

Quando se aproxima de 5 pela direita ( ), o denominador tende a 0, já que qualquer número positivo próximo de 0, ao quadrado, ainda é positivo e próximo de 0. O numerador tende a , um número finito.
Portanto, a fração tende a porque um número finito dividido por um número muito pequeno e positivo resulta em um valor muito grande positivo.
Quanto à assíntota, uma assíntota horizontal ocorre quando é o limite da função quando tende a . No caso, a reta seria uma assíntota vertical, já que o limite tende a ou quando se aproxima de 5.

Passo 3

Vamos verificar se o limite existe.
Aqui, estamos trabalhando com limites laterais e funções absolutas.

Passo 4

Para analisar o limite, devemos considerar os dois lados de :
  • Quando se aproxima de 3 pela direita ( ), , então:
  • Quando se aproxima de 3 pela esquerda ( ), , então:
Como os limites laterais são diferentes ( e ), o limite não existe.

Passo 5

Precisamos determinar se existe algum número real que seja raiz da equação .
Aqui, utilizamos o Teorema do Valor Intermediário para verificar a existência de raízes.

Passo 6

Vamos avaliar a função nos extremos do intervalo e :
Como e , e a função é contínua no intervalo , pelo Teorema do Valor Intermediário, existe pelo menos um em tal que .

Passo 7

Vamos analisar a continuidade da função no ponto .
A função é definida por:

Passo 8

Para verificar a continuidade em , devemos comparar o limite quando com o valor da função em .
Primeiro, simplificamos a função para :
Calculando o limite:
O valor da função em é , que é diferente do limite .

Passo 9

Vamos determinar o limite .
Trabalhamos com limites no infinito envolvendo polinômios.

Passo 10

Para calcular o limite, observamos os termos de maior grau no numerador e no denominador:
  • Numerador:
  • Denominador:
Dividindo cada termo por :

Resposta

Verdadeiro (V). O limite é verdadeiro.

Exercícios relacionados

Usando as propriedades de limite, calcule os seguintes limites:
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
Usando as propriedades de limite, calcule os seguintes limites:
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(i)
(j)
(k)
(l)
(m)
(n)
(o)
Calcule, se existirem, os seguintes limites:
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(i)
(j)
(k)
(I)
(m)
(n)
(0)
§
(q)
®
(s)
(t)
(u)
(v)
(w)
(t)
(x)
(y)
(z)
Encontre pelo menos os quatro primeiros termos não nulos em uma expansão em série de potências em torno de da solução geral da equação diferencial dada.