Determine se o que está estabelecido é Falso (F) ou Verdadeiro (V). Se verdadeiro, explique por quê. Se falso, explique por quê ou dê um contra-exemplo do que está estabelecido.
(a) ( )
, neste caso, dizemos que a reta
é uma assíntota horizontal.
(b) ( )
não existe.
© ( ) Não existe nenhum número real
tal que seja uma raiz da equação
.
(d) ( ) A função
é descontínua no ponto
.
(e) ( ) O limite
.
(a) ( )
(b) ( )
© ( ) Não existe nenhum número real
(d) ( ) A função
(e) ( ) O limite
Passo 1
Vamos analisar a afirmação de que
e se a reta
é uma assíntota horizontal.
Aqui, estamos lidando com limites infinitos e assíntotas. Precisamos entender o comportamento da função quando
se aproxima de 5 pela direita.
Passo 2
Quando
se aproxima de 5 pela direita (
), o denominador
tende a 0, já que qualquer número positivo próximo de 0, ao quadrado, ainda é positivo e próximo de 0. O numerador
tende a
, um número finito.
Portanto, a fração
tende a
porque um número finito dividido por um número muito pequeno e positivo resulta em um valor muito grande positivo.
Quanto à assíntota, uma assíntota horizontal ocorre quando
é o limite da função quando
tende a
. No caso, a reta
seria uma assíntota vertical, já que o limite tende a
ou
quando
se aproxima de 5.
Passo 3
Vamos verificar se o limite
existe.
Aqui, estamos trabalhando com limites laterais e funções absolutas.
Passo 4
Para analisar o limite, devemos considerar os dois lados de
:
-
Quando
se aproxima de 3 pela direita ( ), , então: -
Quando
se aproxima de 3 pela esquerda ( ), , então:
Como os limites laterais são diferentes (
e
), o limite não existe.
Passo 5
Precisamos determinar se existe algum número real
que seja raiz da equação
.
Aqui, utilizamos o Teorema do Valor Intermediário para verificar a existência de raízes.
Passo 6
Vamos avaliar a função
nos extremos do intervalo
e
:
Como
e
, e a função
é contínua no intervalo
, pelo Teorema do Valor Intermediário, existe pelo menos um
em
tal que
.
Passo 7
Vamos analisar a continuidade da função
no ponto
.
A função é definida por:
Passo 8
Para verificar a continuidade em
, devemos comparar o limite quando
com o valor da função em
.
Primeiro, simplificamos a função para
:
Calculando o limite:
O valor da função em
é
, que é diferente do limite
.
Passo 9
Vamos determinar o limite
.
Trabalhamos com limites no infinito envolvendo polinômios.
Passo 10
Para calcular o limite, observamos os termos de maior grau no numerador e no denominador:
- Numerador:
- Denominador:
Dividindo cada termo por
:
Resposta
Verdadeiro (V). O limite
é verdadeiro.