Determine se o que está estabelecido é Falso (F) ou Verdadeiro (V). Se verdadeiro, explique por quê. Se falso, explique por quê ou dê um contra-exemplo do que está estabelecido.
(a) ( ) lim x 5^+ e^x(x-5)^2=+infty, neste caso, dizemos que a reta x=5 é uma assíntota horizontal.
(b) ( ) lim x 3 x-3|x-3| não existe.
© ( ) Não existe nenhum número real c in(1,2) tal que seja uma raiz da equação x^4+x-3=0.
(d) ( ) A função g(x)=rllx^2-xx^2-1, & se & x neq 1 1 & se & x=1 é descontínua no ponto x=1.
(e) ( ) O limite lim x +infty x^3+5 x+2x^2+x+6 x^3=16.

Passo 1

Vamos analisar a afirmação de que e se a reta é uma assíntota horizontal.
Aqui, estamos lidando com limites infinitos e assíntotas. Precisamos entender o comportamento da função quando se aproxima de 5 pela direita.

Passo 2

Quando se aproxima de 5 pela direita ( ), o denominador tende a 0, já que qualquer número positivo próximo de 0, ao quadrado, ainda é positivo e próximo de 0. O numerador tende a , um número finito.
Portanto, a fração tende a porque um número finito dividido por um número muito pequeno e positivo resulta em um valor muito grande positivo.
Quanto à assíntota, uma assíntota horizontal ocorre quando é o limite da função quando tende a . No caso, a reta seria uma assíntota vertical, já que o limite tende a ou quando se aproxima de 5.

Passo 3

Vamos verificar se o limite existe.
Aqui, estamos trabalhando com limites laterais e funções absolutas.

Passo 4

Para analisar o limite, devemos considerar os dois lados de x-3|x-3| = x-3x-3 = 1 :
  • Quando x-3|x-3| = x-33-x = -1 se aproxima de 3 pela direita ( ), , então:
  • Quando se aproxima de 3 pela esquerda ( ), , então:
Como os limites laterais são diferentes ( e ), o limite não existe.

Passo 5

Precisamos determinar se existe algum número real que seja raiz da equação .
Aqui, utilizamos o Teorema do Valor Intermediário para verificar a existência de raízes.

Passo 6

Vamos avaliar a função nos extremos do intervalo e :
Como e , e a função é contínua no intervalo , pelo Teorema do Valor Intermediário, existe pelo menos um em tal que .

Passo 7

Vamos analisar a continuidade da função g(x) = x^2-xx^2-1, & se x neq 1 1, & se x = 1 no ponto .
A função é definida por:

Passo 8

Para verificar a continuidade em x^2-xx^2-1 = x(x-1)(x-1)(x+1) = xx+1, x neq 1 , devemos comparar o limite quando limx to 1 xx+1 = 11+1 = 12 com o valor da função em .
Primeiro, simplificamos a função para :
Calculando o limite:
O valor da função em é , que é diferente do limite .

Passo 9

Vamos determinar o limite .
Trabalhamos com limites no infinito envolvendo polinômios.

Passo 10

Para calcular o limite, observamos os termos de maior grau no numerador e no denominador:
  • Numerador: limx to +infty x^3/x^3 + 5x/x^3 + 2/x^3x^2/x^3 + x/x^3 + 6x^3/x^3 = limx to +infty 1 + 5x^2 + 2x^31x + 1x^2 + 6 = 1 + 0 + 00 + 0 + 6 = 16
  • Denominador:
Dividindo cada termo por :

Resposta

Verdadeiro (V). O limite é verdadeiro.

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