Vamos analisar a afirmação de que e se a reta é uma assíntota horizontal.
Aqui, estamos lidando com limites infinitos e assíntotas. Precisamos entender o comportamento da função quando se aproxima de 5 pela direita.
Passo 2
Quando se aproxima de 5 pela direita (), o denominador tende a 0, já que qualquer número positivo próximo de 0, ao quadrado, ainda é positivo e próximo de 0. O numerador tende a , um número finito.
Portanto, a fração tende a porque um número finito dividido por um número muito pequeno e positivo resulta em um valor muito grande positivo.
Quanto à assíntota, uma assíntota horizontal ocorre quando é o limite da função quando tende a . No caso, a reta seria uma assíntota vertical, já que o limite tende a ou quando se aproxima de 5.
Passo 3
Vamos verificar se o limite existe.
Aqui, estamos trabalhando com limites laterais e funções absolutas.
Passo 4
Para analisar o limite, devemos considerar os dois lados de :
Quando se aproxima de 3 pela direita (), , então:
Quando se aproxima de 3 pela esquerda (), , então:
Como os limites laterais são diferentes ( e ), o limite não existe.
Passo 5
Precisamos determinar se existe algum número real que seja raiz da equação .
Aqui, utilizamos o Teorema do Valor Intermediário para verificar a existência de raízes.
Passo 6
Vamos avaliar a função nos extremos do intervalo e :
Como e , e a função é contínua no intervalo , pelo Teorema do Valor Intermediário, existe pelo menos um em tal que .
Passo 7
Vamos analisar a continuidade da função no ponto .
A função é definida por:
Passo 8
Para verificar a continuidade em , devemos comparar o limite quando com o valor da função em .
Primeiro, simplificamos a função para :
Calculando o limite:
O valor da função em é , que é diferente do limite .
Passo 9
Vamos determinar o limite .
Trabalhamos com limites no infinito envolvendo polinômios.
Passo 10
Para calcular o limite, observamos os termos de maior grau no numerador e no denominador: