Usando as propriedades de limite, calcule os seguintes limites:
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esses limites! O enunciado pede para calcular vários limites usando as propriedades de limite. Para isso, vamos precisar entender conceitos básicos de limites, como limites no infinito, limites envolvendo funções trigonométricas, e propriedades de somatórios. Vamos resolver cada parte do exercício passo a passo.
Passo 2
Parte (a):
Primeiro, precisamos saber o que representa
. Isso é uma soma de uma progressão aritmética que soma todos os números de 1 até
. A fórmula para essa soma é:
Agora, substituímos na expressão original:
À medida que
tende ao infinito,
tende a 0:
Passo 3
Parte (b):
Vamos analisar o comportamento de cada parte. O numerador é
, que sempre está entre 0 e 1, independente de
. O denominador é
, que tende a
quando
tende a
.
Então, temos uma fração onde o numerador é limitado e o denominador tende a
. Assim, toda a expressão tende a 0:
Passo 4
Parte ©:
Aqui,
está se aproximando de 0 pela esquerda (
). O termo
tende a 0, já que qualquer potência positiva de
tende a 0 quando
tende a 0. A função
é oscilatória, mas está sempre limitada entre -1 e 1.
Então, multiplicando algo que tende a 0 por algo limitado, o limite será 0:
Passo 5
Parte (d):
Aqui,
representa a parte inteira de
. Quando
se aproxima de 1, pela esquerda (
),
, e pela direita (
),
.
Vamos considerar a aproximação pelo lado esquerdo:
E pelo lado direito:
Como os limites laterais não são iguais, o limite não existe.
Passo 6
Parte (e):
Primeiro, vamos simplificar o denominador. Sabemos que
. Vamos fatorar:
No entanto, observando que
, vamos substituir
:
Temos uma forma indeterminada
, então aplicamos a regra de L’Hôpital:
Derivamos o numerador e o denominador em relação a
:
Substituindo
:
Então, o limite é:
Passo 7
Parte (f):
Vamos analisar o comportamento de
quando
tende a
.
Sabemos que
tende a 0, então:
À medida que
tende a
,
tende a 0, então
.
Substituindo na expressão original:
Resposta
(a)
(b)
©
(d) O limite não existe.
(e)
(f)