Usando as propriedades de limite, calcule os seguintes limites:
(a) lim x +infty 1+2+3+ldots+nn^2
(b) lim x +infty cos ^2(2 x)3-2 x
© lim x 0^- x^3 cos (2x)
(d) lim x 1 x-[x]2 x
(e) lim omega pi6 sen(omega-pi6)cotg^3 omega-3 cotg omega
(f) lim x +infty 11+2^1/x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esses limites! O enunciado pede para calcular vários limites usando as propriedades de limite. Para isso, vamos precisar entender conceitos básicos de limites, como limites no infinito, limites envolvendo funções trigonométricas, e propriedades de somatórios. Vamos resolver cada parte do exercício passo a passo.

Passo 2

Parte (a): S = n(n+1)2
Primeiro, precisamos saber o que representa lim n +infty n(n+1)2n^2 = lim n +infty n(n+1)2n^2 = lim n +infty n^2 + n2n^2 = lim n +infty 1 + 1n2 . Isso é uma soma de uma progressão aritmética que soma todos os números de 1 até 1 + 02 = 12 . A fórmula para essa soma é:
Agora, substituímos na expressão original:
À medida que tende ao infinito, tende a 0:

Passo 3

Parte (b): lim x +infty cos ^2(2 x)3-2 x = 0
Vamos analisar o comportamento de cada parte. O numerador é , que sempre está entre 0 e 1, independente de . O denominador é , que tende a quando tende a .
Então, temos uma fração onde o numerador é limitado e o denominador tende a . Assim, toda a expressão tende a 0:

Passo 4

Parte ©: lim x 0^- x^3 cos (2x) = 0
Aqui, está se aproximando de 0 pela esquerda ( ). O termo tende a 0, já que qualquer potência positiva de tende a 0 quando tende a 0. A função é oscilatória, mas está sempre limitada entre -1 e 1.
Então, multiplicando algo que tende a 0 por algo limitado, o limite será 0:

Passo 5

Parte (d): lim x 1^- x - 02x = lim x 1^- x2x = 12
Aqui, lim x 1^+ x - 12x = lim x 1^+ 02x = 0 representa a parte inteira de . Quando se aproxima de 1, pela esquerda ( ), , e pela direita ( ), .
Vamos considerar a aproximação pelo lado esquerdo:
E pelo lado direito:
Como os limites laterais não são iguais, o limite não existe.

Passo 6

Parte (e): cot^3 omega - 3 cot omega = cot omega (cot^2 omega - 3) = cot omega (cot raiz3)(não fatorável facilmente)
Primeiro, vamos simplificar o denominador. Sabemos que sin(pi6 - pi6) = sin(0) = 0 . Vamos fatorar:
cot pi6 = cos pi6sin pi6 = raiz3212 = raiz3 ãá
No entanto, observando que cot^3 pi6 - 3 cot pi6 = (raiz3)^3 - 3raiz3 = 3raiz3 - 3raiz3 = 0 , vamos substituir ddomega sin(omega - pi6) = cos(omega - pi6) :
ddomega (cot^3 omega - 3 cot omega) = 3cot^2 omega (-csc^2 omega) - 3(-csc^2 omega) = -3cot^2 omega csc^2 omega + 3csc^2 omega = 3csc^2 omega (1 - cot^2 omega)
cos(0) = 1
csc pi6 = 1sin pi6 = 2
Temos uma forma indeterminada 1 - cot^2 pi6 = 1 - 3 = -2 , então aplicamos a regra de L’Hôpital:
Derivamos o numerador e o denominador em relação a 3 times (2)^2 times (-2) = 3 times 4 times (-2) = -24 :
1-24 = -124
Substituindo :
Então, o limite é:

Passo 7

Parte (f): 2^1/x = e^ln(2)/x approx 1 + ln 2x
Vamos analisar o comportamento de lim x +infty 11 + 1 = 12 quando tende a .
Sabemos que tende a 0, então:
À medida que tende a , tende a 0, então .
Substituindo na expressão original:

Resposta

(a)
(b)
©
(d) O limite não existe.
(e)
(f)

Exercícios relacionados