Usando as propriedades de limite, calcule os seguintes limites:
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esses limites! O enunciado pede para calcular vários limites usando as propriedades de limite. Para isso, vamos precisar entender conceitos básicos de limites, como limites no infinito, limites envolvendo funções trigonométricas, e propriedades de somatórios. Vamos resolver cada parte do exercício passo a passo.

Passo 2

Parte (a):
Primeiro, precisamos saber o que representa . Isso é uma soma de uma progressão aritmética que soma todos os números de 1 até . A fórmula para essa soma é:
Agora, substituímos na expressão original:
À medida que tende ao infinito, tende a 0:

Passo 3

Parte (b):
Vamos analisar o comportamento de cada parte. O numerador é , que sempre está entre 0 e 1, independente de . O denominador é , que tende a quando tende a .
Então, temos uma fração onde o numerador é limitado e o denominador tende a . Assim, toda a expressão tende a 0:

Passo 4

Parte ©:
Aqui, está se aproximando de 0 pela esquerda ( ). O termo tende a 0, já que qualquer potência positiva de tende a 0 quando tende a 0. A função é oscilatória, mas está sempre limitada entre -1 e 1.
Então, multiplicando algo que tende a 0 por algo limitado, o limite será 0:

Passo 5

Parte (d):
Aqui, representa a parte inteira de . Quando se aproxima de 1, pela esquerda ( ), , e pela direita ( ), .
Vamos considerar a aproximação pelo lado esquerdo:
E pelo lado direito:
Como os limites laterais não são iguais, o limite não existe.

Passo 6

Parte (e):
Primeiro, vamos simplificar o denominador. Sabemos que . Vamos fatorar:
ãá
No entanto, observando que , vamos substituir :
Temos uma forma indeterminada , então aplicamos a regra de L’Hôpital:
Derivamos o numerador e o denominador em relação a :
Substituindo :
Então, o limite é:

Passo 7

Parte (f):
Vamos analisar o comportamento de quando tende a .
Sabemos que tende a 0, então:
À medida que tende a , tende a 0, então .
Substituindo na expressão original:

Resposta

(a)
(b)
©
(d) O limite não existe.
(e)
(f)

Exercícios relacionados

Usando as propriedades de limite, calcule os seguintes limites:
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(i)
(j)
(k)
(l)
(m)
(n)
(o)
Calcule os seguintes limites usando os limites fundamentais:
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(i)
(j)
(k)
(l)
(m)
(n)
(o)
§
(q)
Determine se o que está estabelecido é Falso (F) ou Verdadeiro (V). Se verdadeiro, explique por quê. Se falso, explique por quê ou dê um contra-exemplo do que está estabelecido.
(a) ( ) , neste caso, dizemos que a reta é uma assíntota horizontal.
(b) ( ) não existe.
© ( ) Não existe nenhum número real tal que seja uma raiz da equação .
(d) ( ) A função é descontínua no ponto .
(e) ( ) O limite .
Calcule, se existirem, os seguintes limites:
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(i)
(j)
(k)
(I)
(m)
(n)
(0)
§
(q)
®
(s)
(t)
(u)
(v)
(w)
(t)
(x)
(y)
(z)