Beleza, vamos resolver esses limites! O enunciado pede para calcular vários limites usando as propriedades de limite. Para isso, vamos precisar entender conceitos básicos de limites, como limites no infinito, limites envolvendo funções trigonométricas, e propriedades de somatórios. Vamos resolver cada parte do exercício passo a passo.
Passo 2
Parte (a):
Primeiro, precisamos saber o que representa . Isso é uma soma de uma progressão aritmética que soma todos os números de 1 até . A fórmula para essa soma é:
Agora, substituímos na expressão original:
À medida que tende ao infinito, tende a 0:
Passo 3
Parte (b):
Vamos analisar o comportamento de cada parte. O numerador é , que sempre está entre 0 e 1, independente de . O denominador é , que tende a quando tende a .
Então, temos uma fração onde o numerador é limitado e o denominador tende a . Assim, toda a expressão tende a 0:
Aqui, está se aproximando de 0 pela esquerda (). O termo tende a 0, já que qualquer potência positiva de tende a 0 quando tende a 0. A função é oscilatória, mas está sempre limitada entre -1 e 1.
Então, multiplicando algo que tende a 0 por algo limitado, o limite será 0:
Passo 5
Parte (d):
Aqui, representa a parte inteira de . Quando se aproxima de 1, pela esquerda (), , e pela direita (), .
Vamos considerar a aproximação pelo lado esquerdo:
E pelo lado direito:
Como os limites laterais não são iguais, o limite não existe.
Passo 6
Parte (e):
Primeiro, vamos simplificar o denominador. Sabemos que . Vamos fatorar:
No entanto, observando que , vamos substituir :
Temos uma forma indeterminada , então aplicamos a regra de L’Hôpital:
Derivamos o numerador e o denominador em relação a :
Substituindo :
Então, o limite é:
Passo 7
Parte (f):
Vamos analisar o comportamento de quando tende a .