Calcule, se existirem, os seguintes limites:
g)
g)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A questão pede para calcularmos:
Aqui estamos lidando com limites e funções logarítmicas. Para resolver isso, vamos precisar entender como a função logarítmica se comporta quando seu argumento está próximo de 1, especialmente quando lidamos com expressões que tendem a zero.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro do limite. Vamos definir:
Assim, quando
tende ao infinito,
tende a zero. Substituindo na expressão original, temos:
Aqui, usamos a substituição para facilitar a análise do comportamento da função quando
é pequeno.
Passo 3
Agora, precisamos expandir a função logarítmica
em série de Taylor em torno de
. A expansão é:
Para valores de
próximos de zero, podemos considerar somente os primeiros termos da série:
Passo 4
Substituindo essa aproximação na expressão original, temos:
Portanto, a expressão dentro do limite fica:
Passo 5
Vamos simplificar essa expressão:
Então, o limite agora é:
Passo 6
Agora, analisamos cada termo separadamente:
-
quando tende a zero positivo, tende ao infinito positivo. -
é uma constante.
Portanto, o termo dominante é
, que vai para infinito.
Resposta
O limite é
.
Exercícios relacionados
Defina e apresente exemplos dos seguintes tipos de Matrizes. (Valor: 1,0 ponto).
(d) Use a aproximação linear da função
em
para estimar o valor de
.
Mostre que a função
possui dois pontos onde sua tangente é horizontal.
Calcule, se existirem, os seguintes limites:
a)
a)