Calcule, se existirem, os seguintes limites:
g) lim x +infty x[ln (1+1raizx)+1raizx]

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A questão pede para calcularmos:
lim x +infty x[ln (1+1raizx)+1raizx]
Aqui estamos lidando com limites e funções logarítmicas. Para resolver isso, vamos precisar entender como a função logarítmica se comporta quando seu argumento está próximo de 1, especialmente quando lidamos com expressões que tendem a zero.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro do limite. Vamos definir:
y = 1raizx
Assim, quando lim y 0^+ 1y^2 [ln(1 + y) + y] tende ao infinito, tende a zero. Substituindo na expressão original, temos:
Aqui, usamos a substituição para facilitar a análise do comportamento da função quando é pequeno.

Passo 3

Agora, precisamos expandir a função logarítmica ln(1 + y) = y - y^22 + y^33 - dots em série de Taylor em torno de ln(1 + y) approx y - y^22 . A expansão é:
Para valores de próximos de zero, podemos considerar somente os primeiros termos da série:

Passo 4

Substituindo essa aproximação na expressão original, temos:
ln(1 + y) + y approx (y - y^22) + y = 2y - y^22
Portanto, a expressão dentro do limite fica:
1y^2 (2y - y^22)

Passo 5

Vamos simplificar essa expressão:
1y^2 cdot 2y - 1y^2 cdot y^22 = 2y - 12
Então, o limite agora é:
lim y 0^+ (2y - 12)

Passo 6

Agora, analisamos cada termo separadamente:
  • quando tende a zero positivo, tende ao infinito positivo.
  • é uma constante.
Portanto, o termo dominante é , que vai para infinito.

Resposta

O limite é .

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