Calcule, se existirem, os seguintes limites:
g)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A questão pede para calcularmos:
Aqui estamos lidando com limites e funções logarítmicas. Para resolver isso, vamos precisar entender como a função logarítmica se comporta quando seu argumento está próximo de 1, especialmente quando lidamos com expressões que tendem a zero.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro do limite. Vamos definir:
Assim, quando tende ao infinito, tende a zero. Substituindo na expressão original, temos:
Aqui, usamos a substituição para facilitar a análise do comportamento da função quando é pequeno.

Passo 3

Agora, precisamos expandir a função logarítmica em série de Taylor em torno de . A expansão é:
Para valores de próximos de zero, podemos considerar somente os primeiros termos da série:

Passo 4

Substituindo essa aproximação na expressão original, temos:
Portanto, a expressão dentro do limite fica:

Passo 5

Vamos simplificar essa expressão:
Então, o limite agora é:

Passo 6

Agora, analisamos cada termo separadamente:
  • quando tende a zero positivo, tende ao infinito positivo.
  • é uma constante.
Portanto, o termo dominante é , que vai para infinito.

Resposta

O limite é .

Exercícios relacionados

Defina e apresente exemplos dos seguintes tipos de Matrizes. (Valor: 1,0 ponto).
(d) Use a aproximação linear da função em para estimar o valor de .
Mostre que a função possui dois pontos onde sua tangente é horizontal.
Calcule, se existirem, os seguintes limites:
a)