(d) Use a aproximação linear da função em para estimar o valor de .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício usando aproximação linear! A gente tem a função e queremos usar a aproximação linear dessa função no ponto para estimar o valor de . A ideia é usar a reta tangente nessa parte da função para fazer uma boa estimativa de onde a função cruza o eixo , que é exatamente .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funciona a aproximação linear. A fórmula básica é:
Aqui, é a reta tangente à função no ponto . Precisamos calcular e a derivada .

Passo 3

Vamos calcular onde :
Então, .

Passo 4

Agora, vamos achar a derivada de . A derivada de é:
Calculando com :

Passo 5

Agora que temos e , podemos escrever a equação da reta tangente :

Passo 6

Queremos estimar , que é a solução para . Vamos igualar a reta tangente a zero e resolver para :

Passo 7

Vamos resolver essa equação passo a passo:

Resposta

Usando a aproximação linear, estimamos que ou aproximadamente 1,4167.

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