Mostre que a função
é solução da equação diferencial
. Determine o valor da constante
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa mostrar que a função
resolve a equação diferencial de quarta ordem
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente encontrar as derivadas da função e substituir na equação para descobrir o valor de
.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada de
. Lembre-se que, para derivar um produto de duas funções, usamos a regra do produto:
Passo 3
Agora, vamos para a segunda derivada:
Passo 4
Terceira derivada:
Passo 5
Quarta derivada:
Passo 6
Agora que temos todas as derivadas, vamos substituir na equação diferencial:
Substituindo:
Passo 7
Vamos simplificar a expressão:
Distribuindo os termos:
Agrupando os termos semelhantes:
Simplificando:
Passo 8
Agora, igualamos os coeficientes:
Resposta
O valor da constante
é
.