Mostre que a função f(x)=A x e^(x) é solução da equação diferencial y^(4) + 2 y''' - 2 y' - y = 10 e^(x). Determine o valor da constante A.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa mostrar que a função resolve a equação diferencial de quarta ordem . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente encontrar as derivadas da função e substituir na equação para descobrir o valor de .

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada de . Lembre-se que, para derivar um produto de duas funções, usamos a regra do produto:

Passo 3

Agora, vamos para a segunda derivada:

Passo 4

Terceira derivada:

Passo 5

Quarta derivada:

Passo 6

Agora que temos todas as derivadas, vamos substituir na equação diferencial:
Substituindo:

Passo 7

Vamos simplificar a expressão:
Distribuindo os termos:
Agrupando os termos semelhantes:
Simplificando:

Passo 8

Agora, igualamos os coeficientes:

Resposta

O valor da constante é .

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