Calcule, se existirem, os seguintes limites: lim x 2 5 x-4|x-2|

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o limite quando se aproxima de 2 da função . Isso faz parte do conteúdo de Cálculo de Limites, e vamos precisar entender como o valor da função se comporta perto desse ponto específico. Vamos resolver passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa calcular um limite. Basicamente, queremos ver para onde a função está indo quando chega perto de 2, mas sem necessariamente chegar exatamente lá. A função que temos é . O denominador é o valor absoluto de , então precisamos considerar o que acontece quando está se aproximando de 2 pela direita e pela esquerda.

Passo 3

Vamos dividir isso em dois casos: quando limx 2^+ 5x - 4x - 2 se aproxima de 2 pela direita ( 60^+ = +infty ) e quando se aproxima pela esquerda ( limx 2^- 5x - 42 - x = limx 2^- 5x - 4-(x - 2) = -limx 2^- 5x - 4x - 2 ).
Quando -60^+ = -infty :
Aqui, é maior que 2, então é positivo. Portanto, . Substituindo na função:
Quando se aproxima de 2, o numerador se aproxima de , e o denominador se aproxima de 0 positivo. Então, a fração fica assim:
Quando :
Aqui, é menor que 2, então é negativo. Portanto, . Substituindo na função:
Novamente, o numerador se aproxima de 6, e o denominador se aproxima de 0 positivo (já que é negativo). Assim:

Passo 4

Agora, observamos que os limites laterais são diferentes: pela direita, a função vai para , enquanto pela esquerda vai para . Quando os limites laterais não são iguais, o limite geral não existe.

Resposta

O limite não existe porque os limites laterais são e .

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