Calcule:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de Transformada de Laplace! O enunciado pede para calcular a transformada inversa de . Isso significa que queremos encontrar uma função no tempo que, quando transformada pela Transformada de Laplace, nos dá essa expressão em termos de . Para resolver isso, vamos precisar usar decomposição em frações parciais e algumas transformadas inversas básicas que aprendemos na matéria de Equações Diferenciais e Transformadas de Laplace.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão usando a decomposição em frações parciais. Isso ajuda a quebrar a fração complicada em partes mais simples que sabemos reverter para o domínio do tempo.

Passo 3

Vamos escrever a fração como uma soma de termos mais simples. Assumimos que:
Aqui, , , e são constantes que precisamos encontrar.

Passo 4

Agora, multiplicamos ambos os lados da equação por para eliminar os denominadores:

Passo 5

Expandimos e simplificamos os termos no lado direito:
Distribuindo:

Passo 6

Agrupamos os termos semelhantes:

Passo 7

Agora, igualamos os coeficientes dos mesmos poderes de de ambos os lados da equação:
Para :
Para :
Para :
Para o termo constante:

Passo 8

Resolvemos esse sistema de equações. Da primeira equação, temos .
Substituindo na segunda equação:
Na terceira equação:
Na quarta equação:
Substituindo e na segunda equação:
Então:

Passo 9

Agora que temos os valores de , , e , substituímos de volta na decomposição original:
Simplificando:

Passo 10

Agora, aplicamos a transformada inversa de Laplace em cada termo separadamente.
Sabemos que:
Aplicando isso aos nossos termos:

Passo 11

Finalmente, juntamos todos os termos para obter a solução completa:

Resposta

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Determine a solução do PVI abaixo:
Calcule: