Calcule:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de Transformada de Laplace! O enunciado pede para calcular a transformada inversa de
. Isso significa que queremos encontrar uma função no tempo
que, quando transformada pela Transformada de Laplace, nos dá essa expressão em termos de
. Para resolver isso, vamos precisar usar decomposição em frações parciais e algumas transformadas inversas básicas que aprendemos na matéria de Equações Diferenciais e Transformadas de Laplace.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão
usando a decomposição em frações parciais. Isso ajuda a quebrar a fração complicada em partes mais simples que sabemos reverter para o domínio do tempo.
Passo 3
Vamos escrever a fração como uma soma de termos mais simples. Assumimos que:
Aqui,
,
,
e
são constantes que precisamos encontrar.
Passo 4
Agora, multiplicamos ambos os lados da equação por
para eliminar os denominadores:
Passo 5
Expandimos e simplificamos os termos no lado direito:
Distribuindo:
Passo 6
Agrupamos os termos semelhantes:
Passo 7
Agora, igualamos os coeficientes dos mesmos poderes de
de ambos os lados da equação:
Para
:
Para
:
Para
:
Para o termo constante:
Passo 8
Resolvemos esse sistema de equações. Da primeira equação, temos
.
Substituindo
na segunda equação:
Na terceira equação:
Na quarta equação:
Substituindo
e
na segunda equação:
Então:
Passo 9
Agora que temos os valores de
,
,
e
, substituímos de volta na decomposição original:
Simplificando:
Passo 10
Agora, aplicamos a transformada inversa de Laplace em cada termo separadamente.
Sabemos que:
Aplicando isso aos nossos termos:
Passo 11
Finalmente, juntamos todos os termos para obter a solução completa:
Resposta
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Calcule o valor numérico das expressōes:
Determine a solução do PVI abaixo:
Calcule: